已知△ABC三边长分别为a、b、c,且a^4+b^2c^2=b^4+a^2c^2恒成立,判断△的形状

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 07:05:27

已知△ABC三边长分别为a、b、c,且a^4+b^2c^2=b^4+a^2c^2恒成立,判断△的形状
已知△ABC三边长分别为a、b、c,且a^4+b^2c^2=b^4+a^2c^2恒成立,判断△的形状

已知△ABC三边长分别为a、b、c,且a^4+b^2c^2=b^4+a^2c^2恒成立,判断△的形状
a^4-b^4+b^2c^2-a^2c^2=0
(a^2+b^2)(a^2-b^2)-c^2(a^2-b^2)=0
(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0
a^2-b^2=0,a^2+b^2-c^2=0
a^2=b^2,a^2+b^2=c^2
a=b,a^2+b^2=c^2
等腰三角形或者直角三角形

a^4＋b²c²－b^4－a²c²＝0
（a²－b²）（a²＋b²）－c²（a²－b²）＝0
（a²－b²）（a²＋b²－c²）＝0
（a－b）（a＋b）（a²＋b&...

全部展开

a^4＋b²c²－b^4－a²c²＝0
（a²－b²）（a²＋b²）－c²（a²－b²）＝0
（a²－b²）（a²＋b²－c²）＝0
（a－b）（a＋b）（a²＋b²－c²）＝0
∵ a＋b＞0
∴ （a－b）（a²＋b²－c²）＝0
① 当 a－b＝0时。 a＝b
三角形ABC是以c为底边的等腰三角形；
② 当a²＋b²－c²＝0时， a²＋b²＝c²
三角形ABC是以a、b为直角边的直角三角形。

收起

由等式可得：a^4-b^4=a^2c^2-b^2c^2
即（a^2+b^2)(a^2-b^2)=c^2(a^2-b^2)
即（a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2)=0
即a=b或a^2+b^2=c^2
为等腰三角形或直角三角形。

1.a^4+b^2c^2=b^4+a^2c^2 →a^4-b^4=a^2c^2-b^2c^2→(a^2-b^2)(a^2+b^2)=c^2(a^2-b^2)
→a^2+b^2=c^2 所以当a≠b时为直角三角形
2.当a=b≠0时，上式可简化为c^2=c^2，所以当a=b≠0时三角形为等腰三角形，最大夹角为60~180内任意角度