如图所示,AB、BC、AD分别是圆内接正三角形、正方形、正六边形的一边,若圆O的半径为R,求四边形ABCD面积

如图所示,AB、BC、AD分别是圆内接正三角形、正方形、正六边形的一边,若圆O的半径为R,求四边形ABCD面积
如图所示,AB、BC、AD分别是圆内接正三角形、正方形、正六边形的一边,若圆O的半径为R,求四边形ABCD面积

如图所示,AB、BC、AD分别是圆内接正三角形、正方形、正六边形的一边,若圆O的半径为R,求四边形ABCD面积
圆心为O点,角AOB=120度,三角形AOB=r*r*sin120/2
角BOC=90度,三角形BOC=r*r*/2
角AOD=60度,三角形AOD=r*r*sin60/2
所以角COD=360-90-120-60=90度,三角形COD=r*r*/2
所以四边形ABCD面积=上述4个三角形面积之和=（1+根号3/2）*r^2

由题意知，可得角AOB=120度
角BOC=90度，角AOD=60度，角BOD=360-120-90-60=90度
S四边形ABCD=S三角形AOB+S三角形BOC+S三角形AOD+S三角形BOD
=1/2R^2*sin120+1/2R^2+1/2R^2sin60+1/2R^2
=(1+√3/2)R^2

不知

∠AOB＝120º ∠BOC＝90º ∠AOD＝60º ∴∠COD＝90º
AB＝√3R AD＝R BC＝√2R＝CD [∵⊿COB≌⊿COD]
S﹙ABCD﹚＝S⊿ABD+S⊿CBD＝﹙√3/2+1﹚R²≈1.866R²