这个无穷级数怎么求和?1/1^1+1/2^2+1/3^3+.是收敛的还是发散的?和是多少?注意,不是1/n^2,而是1/n^n!

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 23:51:48
这个无穷级数怎么求和?1/1^1+1/2^2+1/3^3+.是收敛的还是发散的?和是多少?注意,不是1/n^2,而是1/n^n!

这个无穷级数怎么求和?1/1^1+1/2^2+1/3^3+.是收敛的还是发散的?和是多少?注意,不是1/n^2,而是1/n^n!
这个无穷级数怎么求和?
1/1^1+1/2^2+1/3^3+.
是收敛的还是发散的?
和是多少?
注意,不是1/n^2,而是1/n^n!

这个无穷级数怎么求和?1/1^1+1/2^2+1/3^3+.是收敛的还是发散的?和是多少?注意,不是1/n^2,而是1/n^n!
1+1/2²+1/3²+ … +1/n²→π²/6
这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式,属于大学范围
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将sinx按泰勒级数展开:
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+ …
于是sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+ …
令y=x^2,有sin√y/√y=1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+ …
而方程sinx=0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y=0的根为π²,(2π)²,…
即1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+…=0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和=一次项系数的相反数
即1/π²+1/(2π)²+…=1/3!
故1+1/2²+1/3²+ … =π²/6

这个级数是收敛的,我只能算到这么多.

A=1/1^1+1/2^2+1/3^3+...+1/n^n+...
<1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2+...=π²/6
故级数收敛.
可以证明A是一个无理数,跟e,pi等无理数并没有函数关系.故无法用现有符号系统表示.
matlab计算结果:
A = 1.291285997...
2^(1/4) = 1...

全部展开

A=1/1^1+1/2^2+1/3^3+...+1/n^n+...
<1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2+...=π²/6
故级数收敛.
可以证明A是一个无理数,跟e,pi等无理数并没有函数关系.故无法用现有符号系统表示.
matlab计算结果:
A = 1.291285997...
2^(1/4) = 1.189207115...
3^(1/4) = 1.316074013...
2^(1/2) = 1.414213562...
e = 2.718281828...
pi = 3.141592653...

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