作业帮设椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a,b >0)过M（2,根号下2）,N（根号下6,1）两点,0为坐标原点.（1）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且向量OA⊥向量OB?若存在,写出
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 05:10:57
设椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a,b >0)过M（2,根号下2）,N（根号下6,1）两点,0为坐标原点.（1）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且向量OA⊥向量OB?若存在,写出
设椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a,b >0)过M（2,根号下2）,N（根号下6,1）两点,0为坐标原点.（1）是否
存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
向量OA⊥向量OB?若存在,写出该圆的方程,并求出 lABl 取值范围,若不存在说明理由.
设椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a,b >0)过M（2,根号下2）,N（根号下6,1）两点,0为坐标原点.（1）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且向量OA⊥向量OB?若存在,写出
1,过M、N
∴ 4a2+2b2=16,a2+1b2=1
∴ a2=8,b2=4
∴ x2/8+y2/4=1
2,设y=kx+m,
y=kx+m,x2/8+y2/4=1
∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0
当△=8（8k2-m2+4）＞0
x1+x2=-4km/1+2k2
x1x2=2m2-8/1+2k2
y1y2=m2-8k2/1+2k2,
OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=0
∴3m2-8k2-8=0
∴ k2=3m2-8/8≥0
又 8k2-m2+4＞0
∴ m2＞2,3m2≥8
∴ m≥2√6/3或m≤-2√6/3
又y=kx+m与圆心在原点的圆相切
∴ r=|m|/√1+k2, r=2√6/3
∴ x2+y2=8/3
K不存在时,切线为 x=±2√6/3,交点（ 2√6/3, ±2√6/3）或（ -2√6/3, ±2√6/3）,
∵ |AB|=1+k2|x1-x2|
k≠0时, |AB|=√32/3(1+1/4k4+1k2+4)
∴ 4√6/3＜|AB|≤2√3（当 k=±√2/2时取等）
k=0时, |AB|=4√3/6
k不存时, |AB|=4√3/6
∴ |AB|∈[4√3/6,2√3]
本题是2009年山东高考理科数学第22题。