作业帮已知数列｛an｝的前n项和Sn=n^2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于?Sn=n^2an(n≥2)，n^2是的平方- -,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 09:18:36
已知数列｛an｝的前n项和Sn=n^2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于?Sn=n^2an(n≥2)，n^2是的平方- -,
已知数列｛an｝的前n项和Sn=n^2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于?
Sn=n^2an(n≥2)，n^2是的平方- -,
已知数列｛an｝的前n项和Sn=n^2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于?Sn=n^2an(n≥2)，n^2是的平方- -,
S2=a1+a2=1+a2=2²×a2
3a2=1
a2=1/3
S3=a1+a2+a3=1+1/3+a3=3²×a3
8a3=4/3
a3=1/6
a1=1=2/[1×(1+1)] a2=1/3=2/[2×(2+1)] 3=1/6=2/[3×(3+1)]
猜想：an=2/[n(n+1)]
证：
n≥2时,
Sn=n²×an S(n-1)=(n-1)²×a(n-1)
Sn-S(n-1)=an=n²×an-(n-1)²×an
(n²-1)an=(n-1)²×a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
…………
a2/a1=1/3
连乘
an/a1=(1/3)(2/4)...[(n-1)/(n+1)]=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n+1)]=2/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]=2/[n(n+1)],
n=1时,a1=2/(1×2)=1,同样满足.
an=2/[n(n+1)],猜想正确.
Sn-S(n-1)=An,
n^2An-(n-1)^2a(n-1)=An
(n^2-1)An=(n-1)^2A(n-1)
n^2-1=(n+1)(n-1)
(n+1)An=(n-1)A(n-1)
An/A(n-1)=(n-1)/(n+1) 用累乘法得
An=(n-1)/(n+1) * (n-2)/n * (n-3)/(n-1)*........*2/4 *1/3=2/[(n+1)*n]