作业帮已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,等差数列{bn}中,b1=2,点P(bn,bn+1)在直线y=x+2上,:设Cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 02:29:24
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,等差数列{bn}中,b1=2,点P(bn,bn+1)在直线y=x+2上,:设Cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,等差数列{bn}中,b1=2,点P(bn,bn+1)在直线y=x+2上,:设Cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,等差数列{bn}中,b1=2,点P(bn,bn+1)在直线y=x+2上,:设Cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn
∵an是Sn与2的等差中项
∴2an＝Sn＋2 (*)
令n＝1,得2a1＝S1＋2＝a1＋2
∴a1＝2
由(*)得：
2a(n＋1)＝S(n＋1)＋2
两式相减,得：
2a(n＋1)－2an＝a(n＋1)
即a(n＋1)＝2an
a(n＋1)/an＝2
∴{an}是以首项a1＝2,公比q＝2的等比数列
∴an＝2•2^(n－1)＝2^n
点P(bn,bn＋1)在直线y＝x＋2上
则b(n＋1)＝bn＋2
即b(n＋1)－bn＝2
∴{bn}是以首项b1＝2,公差d＝2的等差数列
∴bn＝2＋(n－1)×2＝2n
Cn＝an＋bn＝2^n＋2n
用分组求和的方法求Tn即可
Tn＝(2＋4＋……＋2^n)＋(2＋4＋6＋……＋2n)＝[2(1－2^n)/(1－2)]＋n(2＋2n)/2＝2^(n＋1)＋n^2＋n－2
(1)
由an是Sn与2的等差中项得2an=Sn +2
n=1时，2a1=S1+2=a1+2 a1=2
n=2时，2a2=S2+2=a1+a2+2 a2=a1+2=2+2=4
(2)
n=1时，a1=2
n≥2时，2an=Sn+2 2a(n-1)=S(n-1)+2
2an-2a(n-1)=Sn+2 -S(n-1)-2=Sn-S...
全部展开
(1)
由an是Sn与2的等差中项得2an=Sn +2
n=1时，2a1=S1+2=a1+2 a1=2
n=2时，2a2=S2+2=a1+a2+2 a2=a1+2=2+2=4
(2)
n=1时，a1=2
n≥2时，2an=Sn+2 2a(n-1)=S(n-1)+2
2an-2a(n-1)=Sn+2 -S(n-1)-2=Sn-S(n-1)=an
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，通项公式an=2ⁿ
x=bn y=b(n+1)代入直线方程：b(n+1)=bn +2
b(n+1)-bn=2
又b1=2
数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列。通项公式bn=2n。
(3)
cn=anbn=2n×2ⁿ
Tn=a1b1+a2b2+...+anbn
=2(1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ)
2Tn=2[1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)]
Tn-2Tn=-Tn=2[2+2²+...+2ⁿ -n×2^(n+1)]
=2[2×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+1)]
=2[2^(n+1) -2 -n×2^(n+1)]
=2[(1-n)×2^(n+2) -2]
=(1-n)×2^(n+3) -4
Tn=(n-1)×2^(n+3) +4。
收起
因为an是Sn与2的等差中项，所以2an=Sn+2，所以a1=2,a2=4,又{an}为等比数列，所以公比q=2. 点P(bn,bn+1)在直线y=x+2上,所以点bn+1=bn +2，bn+1-bn =2，公差是2. Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+......+(an+bn)==(a1+a2+......+an)+(b1+b2+......+bn),再用等差数列、等比数列求和公式即可.