已知G是△ABC的重心,直线EF过点G且与边AB,AC分别交于E,F,向量AE＝α向量AB,向量AF＝β向量AC,求1／α＋1／β的值．

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 22:19:19

已知G是△ABC的重心,直线EF过点G且与边AB,AC分别交于E,F,向量AE＝α向量AB,向量AF＝β向量AC,求1／α＋1／β的值．
已知G是△ABC的重心,直线EF过点G且与边AB,AC分别交于E,F,向量AE＝α向量AB,向量AF＝β向量AC,
求1／α＋1／β的值．

已知G是△ABC的重心,直线EF过点G且与边AB,AC分别交于E,F,向量AE＝α向量AB,向量AF＝β向量AC,求1／α＋1／β的值．
延长AG交BC于D.
由向量加法的平行四边形法则,AD＝1/2(AB＋AC).G为△ABC的重心,所以AG＝2/3 AD＝1/3(AB＋AC）
EG＝AG－AE＝1/3(AB＋AC）－αAB＝(1/3－α)AB ＋ 1/3 AC
FG＝AG－AF＝1/3(AB＋AC）－βAC＝1/3 AB ＋ (1/3－β)AC
E、F、G共线,所以
(1/3－α) ÷ 1/3＝ 1/3 ÷ (1/3－β)
得α＋β＝3αβ,所以1/α＋1/β＝3

1／α＋1／β=AB/AE + AC/AF=2+(BE/AE+FC/AF)
延长AG交BC于D，D为BC中点
且由中线的性质AG=2GD,
分别过B,C做BM//AD,CN//AD,交EF于M,N
易知
GD为梯形BEFC中位线，AG=2GD=BM+CN
又
AEG相似于BME，AFG相似于CNF
BE/AE=BM/AG

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