作业帮设f(x)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0(1) 证明方程f(x)=0恒有实根(2) 求b/a的范围(3) 设x1,x2是f(x)=0的两根,证明：√3/3≤|x1-x2|＜2/3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:15:17
设f(x)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0(1) 证明方程f(x)=0恒有实根(2) 求b/a的范围(3) 设x1,x2是f(x)=0的两根,证明：√3/3≤|x1-x2|＜2/3
设f(x)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0
(1) 证明方程f(x)=0恒有实根(2) 求b/a的范围(3) 设x1,x2是f(x)=0的两根,证明：√3/3≤|x1-x2|＜2/3
设f(x)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0(1) 证明方程f(x)=0恒有实根(2) 求b/a的范围(3) 设x1,x2是f(x)=0的两根,证明：√3/3≤|x1-x2|＜2/3
(1) c=-a-b
f(x)=3ax^2+2bx-a-b
f(0)f(1)=(-a-b)(2a+b)=-3ab-2a^2-b^2>0
delta=4b^2-12ac=>8(a^2+b^2)>=0
所以f（x）=0恒有实根
(2) f(0)f(1)=(-a-b)(2a+b)=-3ab-2a^2-b^2>0
t=b/a,t^2+3t+2
b=-a-c、f(0)=c、f(1)=3a+2b+c=2a+b=a-c，f(0)f(1)=ac-c^2>0。
ac>c^2>=0，c^2/a^2-c/a<0，0
所以方程f(x)=0恒有实根。
(2)(x1-x2)^2=(x1+...
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b=-a-c、f(0)=c、f(1)=3a+2b+c=2a+b=a-c，f(0)f(1)=ac-c^2>0。
ac>c^2>=0，c^2/a^2-c/a<0，0
所以方程f(x)=0恒有实根。
(2)(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=4b^2/(9a^2)-4c/(3a)
=(4b^2-12ac)/(9a^2)
=(4a^2-4ac+4c^2)/(9a^2)
=(4/9)(c/a)^2-(4/9)(c/a)+4/9
=(4/9)(c/a-1/2)^2+1/3
0
收起
△=4b^2-12ac
=4(a+c)^2-12ac
=4(a^2+c^2-ac)
f(0)f(1)=c(3a+2b+c)
=c[3a-2(a+c)+c]
=c(a-c)
=ac-c^2>0
即ac>c^2
若c<0则a
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△=4b^2-12ac
=4(a+c)^2-12ac
=4(a^2+c^2-ac)
f(0)f(1)=c(3a+2b+c)
=c[3a-2(a+c)+c]
=c(a-c)
=ac-c^2>0
即ac>c^2
若c<0则a
那么a^2-ac+c^2>0
则△>0
得证
若c>0则a>c>0
就有a^2>ac>0
那么a^2-ac+c^2>0
则△>0
得证
综上所述方程f(x)=0恒有实根
从上面的解析可清楚知道a,c同号则b与a,c异号
那么b/a<0
收起