已知函数f(x)=-a²x³/3+ax²/2+cx （a不等于0） 当a≥1/2时,若关于x的实数方程f ‘(x)=0当a≥1/2时,若关于x的实数方程f ‘(x)=0有两个实数根M ,N .且|M|≤1,|N|≤1 .求证：-1/4≤c≤a²-a

已知函数f(x)=-a²x³/3+ax²/2+cx （a不等于0） 当a≥1/2时,若关于x的实数方程f ‘(x)=0当a≥1/2时,若关于x的实数方程f ‘(x)=0有两个实数根M ,N .且|M|≤1,|N|≤1 .求证：-1/4≤c≤a²-a
已知函数f(x)=-a²x³/3+ax²/2+cx （a不等于0） 当a≥1/2时,若关于x的实数方程f ‘(x)=0
当a≥1/2时,若关于x的实数方程f ‘(x)=0有两个实数根M ,N .且|M|≤1,|N|≤1 .求证：-1/4≤c≤a²-a

已知函数f(x)=-a²x³/3+ax²/2+cx （a不等于0） 当a≥1/2时,若关于x的实数方程f ‘(x)=0当a≥1/2时,若关于x的实数方程f ‘(x)=0有两个实数根M ,N .且|M|≤1,|N|≤1 .求证：-1/4≤c≤a²-a
将原函数求导得
f ‘(x)=-a²x²+ax+c
又f ‘(x)=0有两个实数根M ,N
所以 △≥0 即a²+4ca²≥0 → a²(1+4C)≥0即1+4c≥0求得c≥-1/4
根据韦达定理知
MN=1/a （1）
M+N=-c/a² （2）
由（2）得M=1/a-N代入（1）得
（1/a-N）N=-c/a² 化简得N²-N/a-c/a²=0 用配方法解得N=(1+√(4c+1))/2a
又|N|≤1即|(1+√(4c+1))/2a|≤1
即-1≤(1+√(4c+1))/2a≤1
→ -2a-1≤√(4c+1)≤2a-1
→ (-2a-1)²≤4c+1≤(2a-1)²
化简得a²+a≤c≤a²-a
又由条件知a≥1/2
所以a²+a≥1/2≥-1/4
综上-1/4≤c≤a²-a
得证