若函数y=f（x）的值域为【1/2,3】则函数F（x）=f（x）+1/f（x）的值域是?

若函数y=f（x）的值域为【1/2,3】则函数F（x）=f（x）+1/f（x）的值域是?
若函数y=f（x）的值域为【1/2,3】则函数F（x）=f（x）+1/f（x）的值域是?

若函数y=f（x）的值域为【1/2,3】则函数F（x）=f（x）+1/f（x）的值域是?
解 令t=f（x） 则1/2

可以把f(x)设为x,则F（x）=x+1/x定义域为
【1/2，3】，然后利用对勾函数性质解决
结果 2到10/3

函数f（x）的值域为F（x）的定义域！
考虑函数g（x）=x+1/x，求导得：
g'（x）=1-1/x^2=（x^2-1）/x^2，
∴当x∈[1/2，1]时，g'(x)＜0，函数递减；
当x∈[1，3]时，g'(x)＞0，函数递增。
类似的，F（x）对于f（x）也有类似的关系！
所以，F（x）的最小值为F（f（x）=1）=2；
F...

全部展开

函数f（x）的值域为F（x）的定义域！
考虑函数g（x）=x+1/x，求导得：
g'（x）=1-1/x^2=（x^2-1）/x^2，
∴当x∈[1/2，1]时，g'(x)＜0，函数递减；
当x∈[1，3]时，g'(x)＞0，函数递增。
类似的，F（x）对于f（x）也有类似的关系！
所以，F（x）的最小值为F（f（x）=1）=2；
F（1/2）=1/2+2=5/2，F（3）=3+1/3=10/3＞5/2=F（1/2）
故最大值为10/3
∴F（x）的值域为：[2，10/3]

收起

jiangbin702用的是导数，求导的F’(t)=1-1/t^2这样看得懂么

令f(x)=t,则f(x)+1/f(x)=t+1/t 1/2<=t<=3
设g(t)=t+1/t
则g(t)=t+1/t>=2(t*1/t)^1/2=2 当且仅当t=1/t时存在即t=1
3>=t>1,g(t)递增
1/2<=t<1,g(t)递减
g(3)=10/3
g(1/2)=2.5
故g(t)在t=3时取最大值
g(t)的值域是[2,10/3]
所以F(x)）=f（x）+1/f（x）的值域是[2,10/3]