若a,b,c属于R,且5a^4+4b^4+6c^4=90,则5a^3+2b^3+3c^3的最大值是多少?另外能提供一个已知低次方程的和 求解高次方程最值的问题吗？就是与上一题恰恰相反？谢谢。

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 17:58:35
若a,b,c属于R,且5a^4+4b^4+6c^4=90,则5a^3+2b^3+3c^3的最大值是多少?另外能提供一个已知低次方程的和 求解高次方程最值的问题吗？就是与上一题恰恰相反？谢谢。

若a,b,c属于R,且5a^4+4b^4+6c^4=90,则5a^3+2b^3+3c^3的最大值是多少?另外能提供一个已知低次方程的和 求解高次方程最值的问题吗？就是与上一题恰恰相反？谢谢。
若a,b,c属于R,且5a^4+4b^4+6c^4=90,则5a^3+2b^3+3c^3的最大值是多少?
另外能提供一个已知低次方程的和 求解高次方程最值的问题吗？就是与上一题恰恰相反？谢谢。

若a,b,c属于R,且5a^4+4b^4+6c^4=90,则5a^3+2b^3+3c^3的最大值是多少?另外能提供一个已知低次方程的和 求解高次方程最值的问题吗？就是与上一题恰恰相反？谢谢。
由均值不等式,3a⁴+16 = a⁴+a⁴+a⁴+16 ≥ 4·(a⁴·a⁴·a⁴·16)^(1/4) = 8|a|³.
即得5a³ ≤ 5|a|³ ≤ 5/8·(3a⁴+16) = 15a⁴/8+10 ①.
仍由均值不等式,3b⁴+1 = b⁴+b⁴+b⁴+1 ≥ 4·(a⁴·a⁴·a⁴·1)^(1/4) = 4|b|³,
得2b³ ≤ 2|b|³ ≤ (3b⁴+1)/2 = 3b⁴/2+1/2 ②.
同理3b⁴+1 ≥ 4|c|³,故3c³ ≤ 3|c|³ ≤ 3/4·(3c⁴+1) = 9c⁴/4+3/4 ③.
①+②+③得5a³+2b³+3c³ ≤ 15a⁴/8+10+3b⁴/2+1/2+9c⁴/4+3/4 = 3(5a⁴+4b⁴+6c⁴)/8+45/4 = 45.
可验证a = 2,b = c = 1时等号成立.
即所求最大值就是45.
注:其实我是先猜到取等条件,再根据取等条件用均值不等式放缩.
如果猜不到取等条件,可以用待定系数法.
如果知道Holder不等式,可以有如下方法.
根据Holder不等式,(5a⁴+4b⁴+6c⁴)^(3/4)·(5+1/4+3/8)^(1/4) ≥ 5|a|³+2|b|³+3|c|³.
故5a³+2b³+3c³ ≤ 90^(3/4)·(45/8)^(1/4) = 45^(3/4)·45^(1/4) = 45.
等号成立当且仅当a,b,c > 0并满足5a⁴:4b⁴:6c⁴ = 5:1/4:3/8,可解得a = 2,b = c = 1.
常见的反向不等式的结论也是反向的,即能够给出的是最小值.
例如:已知实数a,b,c满足a²+b²+c² = 1,求a⁴+b⁴+c⁴的最小值.
可直接由Cauchy不等式(1+1+1)(a⁴+b⁴+c⁴) ≥ (a²+b²+c²)² = 1得a⁴+b⁴+c⁴ ≥ 1/3.
可验证|a| = |b| = |c| = 1/√3时等号成立.
不过最大值也是存在的:
由0 ≤ a²,b²,c² ≤ 1,有a⁴ ≤ a²,b⁴ ≤ b²,c⁴ ≤ c².
故a⁴+b⁴+c⁴ ≤ a²+b²+c² = 1.
可验证在|a| = 1,b = c = 0及其轮换情形取得等号.

若a,b,c属于R,且3^a=4^b=6^c则b^-1=2(c^-1-a^-1).为什么? a,b属于R且a+b 已知a.b.c属于R+,且3^a=4^b=6^c,求证2/a+1/b=2/c 已知a,b,c 属于R,且a 已知a,b,c属于R,且a 若A,B,C属于R,且2A+B+C=2,求（A+B)(A+C)的最大值? 已知a,b,c属于R,且a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b),证明b/(a+c)≥（√17-1）/4 注“√17”指根号17 若a,b属于R,且|1+ab|/|a+b| 1.已知a,b,c属于R+,且a+b+c=1求证1/a+1/b+1/c≥92.已知a,b,c,d属于R+,且a+b+c+d=1求证a²+b²+c²+d²≥1/4 若a,b,c属于R+,且3^a=4^b=6^c,则( ) A.1/c=1/a+1/b B.2/c=2/a+1/b C.1/c=2/a+2/b D.2/c=1/a+2/b 已知a.b.c属于R,求证:a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c) 证明不等式:a,b,c属于 R,a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c) 设a b属于R,且2a+b-2=0 则4^a+2^b的最小值为什么 若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证√(a+5)+√(b+5)+√(c+5)≤4√3 已知a,b,c属于R+,且a+b+c=1,求证4a^2／（1-b）+4b^2／（1-c）+4c^2／（1-a）＞=2 已知a,b,c属于R,且a大于b大于c,P=a-c,Q=3/(a-b)(b-c),则P+Q与4的大小关系为 已知a,b为复数,给出下列四个命题1若a^2属于R,则a属于R或是a纯虚数2若a的模=b的模,则a=正负b或a=bi3若a+b属于R,则ab属于R或a=b共轭复数4若a+b>0,且ab>0,则a>0且b>0 若a、b、c属于R.且3^a=4^b=6^c则（ )1）c^-1=a^-1+b^-12）a^-1=2(c^-1-b^-1)3）c^-1=2(a^-1+b^-1)4）b^-1=2(c^-1-a^-1) 选那个,