计算级数 1/n^4

计算级数 1/n^4
计算级数 1/n^4

计算级数 1/n^4
用傅里叶级数展开.得到答案pi^4/90
见参考资料

傅立叶级数 f(x)=x^4, −π≤x≤π,
x^4=(1/5)π^4+∑(n=1,∞){[8n^2 π^2−48]/(n^4)}cosnπ⋅cosnx,
给x=π
π^4==(1/5)π^4+∑(n=1,∞){[8n^2 π^2−48]/n^4}[cosnπ]^2
=(1/5)π^4+[8π^2∑n=(1,∞)(...

全部展开

傅立叶级数 f(x)=x^4, −π≤x≤π,
x^4=(1/5)π^4+∑(n=1,∞){[8n^2 π^2−48]/(n^4)}cosnπ⋅cosnx,
给x=π
π^4==(1/5)π^4+∑(n=1,∞){[8n^2 π^2−48]/n^4}[cosnπ]^2
=(1/5)π^4+[8π^2∑n=(1,∞)(1/n^2)]−48∑(n=1,∞)(1/n^4)
∑(n=1,∞)(1/n^2)=π^2/6 (欧拉公式Euler Formula)
∑(n=1,∞)(1/n^4)=(π^4/48)(−1+1/5+8/6)=π^4/90

收起

∑(1/n^4)[n:1->∞]=1+1/16+1/81+……+1/n^4+……=π^4/90 ，也可以用傅立叶级数的知识得到。