数列{an}的前n项和Sn=a^n+b(a≠0且a≠1),证明数列{an}为等比数列的充要条件是b=-1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 14:25:12

$数列{an}的前n项和Sn=a^n+b(a≠0且a≠1),证明数列{an}为等比数列的充要条件是b=-1$

数列{an}的前n项和Sn=a^n+b(a≠0且a≠1),证明数列{an}为等比数列的充要条件是b=-1
数列{an}的前n项和Sn=a^n+b(a≠0且a≠1),证明数列{an}为等比数列的充要条件是b=-1

数列{an}的前n项和Sn=a^n+b(a≠0且a≠1),证明数列{an}为等比数列的充要条件是b=-1
充要条件的证明要分开：
(1)充分性：b=-1时,Sn=a^n-1,an=Sn-Sn_1=(a-1)a^(n-1)
∴n≥2时,an/an_1=a.
又a2/a1=a(a-1)/(a-1)=a
∴{an}为等比数列.
(2)必要性:
{an}为等比数列时,an=Sn-Sn_1=(a-1)a^(a-1)
∴{an}的公比为a
又a2=a(a-1),a1=a b
∴b=-1
综上所述,数列{an}为等比数列的充要条件是b=-1.

a1 = a + b
an = S(n)-S(n-1) = (a-1)a^(n-1)，n>1
若an是等比数列，由an，n>1的通项公式知道公比应为a
所以a2/a1=a，则b=-1
若b=-1，则an通项可以表示为an=(a-1)a^(n-1)，是等比数列

已知数列AN的前N项和SN=A1 A2 A3 …… AN满足AN 2SNSN-1=0(N大于∴从第二项起，数列{1/Sn}是公差为2的等差数列 ∵A2 2S2S1=0，S1=A1

已知数列{an}的前n项的和为Sn 且向量a=（n,Sn）b=(4,n+3)共线已知数列{an}的前n项的和为Sn 且向量a=(n,Sn)b=(4,n+3)共线求数列{1/(nan)}的前n项和Tn 数列an的前n项和Sn满足：Sn=2n-an 求通项公式已知数列{an}的前n项和为Sn,an+Sn=2,（n 在数列{an}中,a1=2,sn=4A(n+1) +1 ,n属于N*.求数列{an}的前n项和Sn 设数列an的前n项和为Sn,满足an+sn=An^2+Bn+1(A不等于0)an为等差数列,求(B-1)/A 数列：已知数列[An]前n项和为Sn a1=1 An+1=2Sn 求【An] 求【n-An]前n项和Sn数列：已知数列[an]前n项和为Sn,a1=1 ,a[n+1]=2Sn,求[an]通项，求[n-an]前n项和Sn.注：a[n+1]指a 的下标为n+1而不是以n为下标的a加上1. 数列an的前n项和sn=3n-n²,则an= 已知数列an=n²+n,求an的前n项和sn. 数列an的前n项和Sn=3n-n²,则an 若数列{an}的前n项和Sn=10n-n^2,求an. 数列{an}前n项和Sn与通项an满足关系式 Sn=n*an+2(n)的平方-2n (n属于 N+),则a100-a10的值为 ( )A -90 B -180 C -360 D -400 设正项数列an的前n项和是sn,向量a=(sn,1),向量b=(an+1,2),n 等差数列an=2n-1,求数列{1/an*a n+1}的前n项和Sn 已知数列{a n }的通项公式是an=a^n+lgb^n(a≠0,b﹥0),求前n项和Sn 数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a（n+1)=2 Sn （n为正整数）..数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a（n+1)=2Sn （n为正整数）（1）求数列{an}的通项（2）求数列{n an}的前n项和Tn 数列 an 的前n项和为sn,若向量a=(Sn,1),b=(-1,2an+2^n+1),a⊥b,{bn}=an/2^n(1)求证数列是{bn}等差数列,并求出数列{an}的通项公式（2）求数列{an}的前n项和Sn 设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn 数列an的前n项和Sn,a1=1,a(n+1)(下标)=2Sn.求通项an 求nan的前n项和Tn