设AB是过椭圆x²／5+y²／4=1的一个焦点F的弦.若AB的长为九分之十六倍的根号五,则直线AB的斜率为多少

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 12:19:40

设AB是过椭圆x²／5+y²／4=1的一个焦点F的弦.若AB的长为九分之十六倍的根号五,则直线AB的斜率为多少
设AB是过椭圆x²／5+y²／4=1的一个焦点F的弦.若AB的长为九分之十六倍的根号五,则直线AB的斜率为多少

设AB是过椭圆x²／5+y²／4=1的一个焦点F的弦.若AB的长为九分之十六倍的根号五,则直线AB的斜率为多少
解此题要用到椭圆的准线;就是椭圆上所有的点到f的距离与到准线的距离成比例.
设x正轴上的焦点F的座标为(a,0)//x>0;
为了书写方便,设根号5为w
设x正轴上的准线l的方程为x=w+b
由最左端点与最右端点得 (w-a):b=(w+a):(2w+b)
得2ww-2wa+wb-ab=wb+ab
得b=w(w-a)/a=>(w-a):b=a/w
由最高点与最左点得根号(4+x^2):(w+b)=(w-a):b=a/w
得根号(4+x^2)=(a/w)(w+b)=a+ab/w=a+w-a=w
得 a=1(x>0)
进而b=5-w;
设A点的座标为(x1,y1),B点座标为(x2,y2)
若AB长为16w/9 则 (5-x1)+(5-x2)=16w/9*w=80/9
x2=10/9-x1
(5-x1):(5-x2)=FA:FB=(x1-1):(1-x2)
得(5-x1)*(1-x2)=(x1-1)*(5-x2)
得x1*x2=-5/3=>x1(10/9-x1)=-5/3
解方程x1^2-10/9x1-5/3=0得
x1=5/9+4根号10/9(x1>0)
斜率=y1/(x1-1)=2根号(1-x1^2/5)/(x1-1)=根号(81-(根号5+4*根号2)^2)/2(根号10-1）=1
同理x1=5/9-4根号10/9(x1

http://www.doc88.com/p-173327714311.html。利用里面给的公式，可以推出倾斜角=π/4或3π/4,所以斜率=±1.
或者利用直线方程和椭圆联立，这个运算量比较大。

用弦长公式求解。本人只说解题思路
设直线方程为y=k(x-1)，与x²/5+y²/4=1联立消去y，得到一个含有k的一元二次方程：Ax²+Bx+C=0。（A，B，C自己可算出），在根据弦长公式和韦达定理可求解。
AB=√(1+k²)·|x1-x2|=√(1+k²)·√[(x1+x2)²-4x1·x2]，由韦达定理代入解方程...

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