作业帮2^2^0+1=3 ; 2^2^1+1=5; 2^2^2+1=17 ; 2^2^3+1=257 ; 2^2^4+1=65537 zhe lie shu zi jiao shen me ne Does any one know what is the name of the family of these numbers?Thanks for helping!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 00:00:02
2^2^0+1=3 ; 2^2^1+1=5; 2^2^2+1=17 ; 2^2^3+1=257 ; 2^2^4+1=65537 zhe lie shu zi jiao shen me ne Does any one know what is the name of the family of these numbers?Thanks for helping!
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Does any one know what is the name of the family of these numbers?
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这叫费马数
其中前五个是素数,叫做费马素数
费马数
求助编辑百科名片费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： 其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 < a, b < n 且 b 为奇数，则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。）也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些...
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费马数
求助编辑百科名片费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： 其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 < a, b < n 且 b 为奇数，则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。）也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。
目录定义费马猜想猜想结论素数的普遍公式具体形式费马数猜想：大师的失误展开定义费马猜想猜想结论素数的普遍公式具体形式费马数猜想：大师的失误展开
编辑本段定义 也叫费马质数或费马素 费马数.编辑本段费马猜想 法国数学家费马于1640年提出了以下猜想： 揭示了十进制和二进制的关系 可以发现 F0=2^（2^0)+1=3 F1=2^（2^1）+1=5 F2=2^（2^2）+1=17 F3=2^（2^3）+1=257 F4=2^（2^4）+1=65537 前4个是质数，因为第5个数实在太大了，费马认为这个数 费马数是质数。 由此提出（费马没给出证明），形如Fn=2^（2^n)+1 的数都是质数的猜想。后来人们就把形如2^（2^n)+1的数叫费马数。编辑本段猜想结论 1732年，欧拉算出F5=641×6700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。以后，人们又陆续找到了不少反例，如n=6 时，F6=2^（2^6）+1=274177×67280421310721不是质数。至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的例子，也就是说目前只有n=0，1，2，3，4这5个情况下，Fn才是质数。甚至有人猜想：费马数N>4时，费马数全是合数！ 接下来的几个费马数的分解情况是： F6 = 274177 × 67280421310721 F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721 F8 = 1238926361552897 ×934616397153 57977769163558199606896584051237541638188580280321 F9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × 74164006262753080152 47871419019374740599407810975190239058213 161444157 59504705008092818711693940737 F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252 F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564 F12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 12561 32134125569 × 568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133 F13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 × 319546020820551643220672513 × C2391 早已经有人证明，费马数的因数必然是2^(n+2）*k+1 形，注：（n+2）是右上标。例如n=5时，4294967297=（128×5+1）×（128×52347+1），其中128就是2的7次方。编辑本段素数的普遍公式 实际上几千年来，数学家们一直在寻找这样的一个公式，一个能求出所有质数的公式；但直到现在，谁也未能找到这样一个公式，而且谁也未能找到证据，说这样的公式就一定不存在；这样的公式存不存在，也就成了一个著名的数学难题.。参见百度百科“素数普遍公式”和“孪生素数普遍公式”。那里有可以构造一切素数的普遍公式。 虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了，但有意思的是，1801年数学家高斯证明：如果费马数K为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形.编辑本段具体形式 费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： F_{n} = 2^{2^n} + 1 其中 n 为非负整数。 若 2^n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 < a,b < n 且 b 为奇数，则 2^n + 1 ≡ （2^a）^b + 1 ≡ （-1）^b + 1 ≡ 0 （mod 2^a + 1）。）也就是说，所有具有形式 2^n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。编辑本段费马数猜想：大师的失误 1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子2^（2^n)+1 的值是否一定为素数。当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数。由此，费马提出一个猜想：形如2^（2^n)+1 的数一定为素数。在给朋友的一封信中，费马写道：“我已经发现形如2^（2^n)+1的数永远为素数。很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明。 费马所研究的2^（2^n)+1这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用Fn 表示。费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数。费马是正确的吗？ 进一步验证费马的猜想并不容易。因为随着n的增大， Fn 迅速增大。比如对后人来说第一个需要检验的F5 =4294967297已经是一个十位数了。非常可能的是，由于这一数太大，所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证。那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢？ 1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如 2^（2^n)+1 的数都是素数，你知道这个问题吗？他说他没能作出证明。据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。” 这个问题吸引了欧拉。1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 =641×6700417，其中641=5×27+1 这一结果意味着 是一个合数，因此费马的猜想是错的。 在对费马数的研究上，费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉，轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测。更为不幸的是，研究的进展表明费马不但是错的，而且非常可能是大错特错了。 此后人们对更多的费马数进行了研究。随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费马数的有力工具。但即使如此，在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个！因此人们开始猜想：在所有的费马数中，除了前五个是素数外，其他的都是合数。如果这一结论被证实，那么对于费马的草率猜想来说，恐怕不会。 费马合数都是可以用佩尔方程表示，费马素数不能用佩尔方程表示，参见百度文库《费马合数与佩尔方程》。变形费马.3^2^n+2 变形费马数是改变了数值，采用同样性质的费马数，例如：3^2^n+2。 n=0时，3^2^0+2=5，素数； n=1时，3^2^1+2=11，素数； n=2时，3^2^2+2=83，素数； n=3时，3^2^3+2=6563，素数； n=4时，3^2^4+2=43046723=19×2265617合数。 是否有无穷多个变形费马素数？是否有无穷多个变形费马合数？还是一个未知问题。
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