作业帮AD,BE,CF是三角形ABC的三条高,证明AD,BE,CF必定相交于一点,即垂心提示：过A,B,C分别做对边的平行线,说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线我的等级图传不上来原题在九年级下册
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 08:37:42
AD,BE,CF是三角形ABC的三条高,证明AD,BE,CF必定相交于一点,即垂心提示：过A,B,C分别做对边的平行线,说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线我的等级图传不上来原题在九年级下册
AD,BE,CF是三角形ABC的三条高,证明AD,BE,CF必定相交于一点,即垂心
提示：过A,B,C分别做对边的平行线,说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线
我的等级图传不上来
原题在九年级下册华东师大版数学书第86页C组第9题,
刚刚升了一级，图在这
有点不清楚，但应该可以看
AD,BE,CF是三角形ABC的三条高,证明AD,BE,CF必定相交于一点,即垂心提示：过A,B,C分别做对边的平行线,说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线我的等级图传不上来原题在九年级下册
已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F
求证：CF⊥AB
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、C、D到AB中点距离相等
∴A、B、D、E四点共圆 （以AB为直径的圆）
同理C、D、O、E到OC中点距离相等
∴C、D、O、E四点共圆 （以OC为直径的圆）
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此,垂心定理成立!
因为垂直且平行，易得内错角相等，即直角，又利用ASA证明各小三角形全等故各为大三角形边上的垂直平分线，故交于一点且为大三角形的外接圆
过A,B,C分别做对边的平行线组成新的三角形GHI(点G在A,B间,点H在B,C间,点I在C,A间）
因为AB平行于IC,AI平行于BC 所以四边形ABCI为平行四边形 所以AB等于CI
同理可证AB等于CH 所以CH等于CI
因为AB平行于CI 所以角BAC等于角ACI
因为角CFA等于90度 所以角BAC加上角ACF等于90度
又因为角BAC等...
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过A,B,C分别做对边的平行线组成新的三角形GHI(点G在A,B间,点H在B,C间,点I在C,A间）
因为AB平行于IC,AI平行于BC 所以四边形ABCI为平行四边形 所以AB等于CI
同理可证AB等于CH 所以CH等于CI
因为AB平行于CI 所以角BAC等于角ACI
因为角CFA等于90度 所以角BAC加上角ACF等于90度
又因为角BAC等于角ACI 所以角ACI加上角ACF等于90度 所以FC垂直于HI
又因为CH等于CI 所以FC垂直平分HI
同理可证DA垂直平分GI，EB垂直平分GH
所以DA,EB,FC交于一点
也可用塞瓦定理证
收起
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90度即可，
反证：若角BDA小于9...
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三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90度即可，
反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB （点D在圆BOF外）
AO*AD
同理可证角BDA也不大于90度。
故角BDA＝90度。即AD为高。
收起
塞瓦定理