已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足f(-1)=0 且x≤f(x)≤(x^2+1)/2对一切x恒值成立,求该函数的解析式.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/20 19:07:37

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足f(-1)=0 且x≤f(x)≤(x^2+1)/2对一切x恒值成立,求该函数的解析式.
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足f(-1)=0 且x≤f(x)≤(x^2+1)/2对一切x恒值成立,求该函数的解析式.

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足f(-1)=0 且x≤f(x)≤(x^2+1)/2对一切x恒值成立,求该函数的解析式.
∵f(-1)=0
∴a-b+c=0 ①
∵x≤f(x)≤½(x²+1)
∴当x=1时也成立,即1≤a+b+c≤1
故有a+b+c=1．②
∴由①②得；b=½,c=½-a
∴f（x）=ax²+½x+½-a
故x≤ax²+½x+½-a≤½(x²+1)对于一切∈R成立
即：ax²-½x+½-a≥0
(1-2a)x²-x+2a≥0
恒成立
∴△1≤0
△2≤0
a＞0
1-2a＞0
∴¼-4a（½-a)≤0
1-8a(1-2a)≤0
a>0
1-2a>0.
∴a=¼, c=½-a=¼
c=¼
∴f(x)=¼x²+½x+¼

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