作业帮定积分.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 14:36:07
定积分.
定积分.
定积分.
这里介绍两个函数,
分别是
u(x) = sec(x) + tan(x);
v(x) = sec(x) - tan(x).
所以
secx= (u + v) / 2
tanx= (u - v) / 2.
你所求的定积分我们可以分成两块来求解
第一块是x^2(1+4x^2)^1/2,第二块是x^4(1+4x^2)^1/2
这里,我们令4x^2=(tant)^2,积分就化为：1/8*∫（0到arctan4）（tant）^2*(sect)^3dt
这里就需要用到上面介绍的函数了.
首先这两个函数有一个性质：
uv = (sect + tant)(sect - tant) = （sect）^2 - （tant）^2 = 1 = ((tant)^2 + 1) - (tant)^2 = 1
其次,u' = (sect + tant)' = sect' + tant' = sect*tant + （sect）^2 = (tant + sect) * sect = u *
sect
v' = (sect - tant)' = sect' - tant' = sect*tant - （sect）^2 = (tant - sect) * sect = -
(sect - tant) sect = - v * sect
所以有
∫ sec(x) * u(x)^n dx
= ∫ u(x)^(n-1) * sec(x) * u(x) dx
= ∫ u(x)^(n-1) *
u'(x) dx
= ∫ U^(n-1) * dU [ U = u(x)]
= 1/n * U^n + C = u(x)^n / n +
C.
∫ sec(x) * v(x)^n
dx
= ∫ sec(x) * u(x)^(-n) dx [v=1/u]
= u(x)^(-n) / (-n) + C
= - v(x)^n / n + C.
∫ sec(x) dx = ∫ u*sec(x)/u dx
= ∫ u'/u dx = ∫ du/u = ln |u| + C
所以∫（0到arctan4）（tant）^2*(sect)^3dt
=1/16*∫（0到arctan4）(tant)^2*(sect)^2sectdt
=1/16*∫（0到arctan4）(u+v)^2*(u-v)^2sectdt
=1/16*∫（0到arctan4）sect*(u^4+v^4-2)dt
=1/16*[u^4/4-v^4/4-2ln|u|](0到arctan4)
=（(根号17+4)^4/4-(根号17-4)^4/4-2ln|根号17+4|）/16
乘上前面的系数就是
（(根号17+4)^4/4-(根号17-4)^4/4-2ln|根号17+4|）/128
化简得
(33*17^(1/2))/16 - ln(17^(1/2) + 4)/64
同理可求后一个定积分.
结果是ln(17^(1/2) + 4)/512 + (2077*17^(1/2))/384
所以总的结果是- (9*ln(17^(1/2) + 4))/512 - (1285*17^(1/2))/384
我上面三个计算结果均是用matlab计算出来的,而第一个x^2的积分我是化简了,和matlab 的结果一样,所以积分是没有错的.