作业帮已知函数f(x)＝mx^2＋lnx－2x在定义域内不是单调函数,则实数m的取值范围是什么 ．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 07:48:43
已知函数f(x)＝mx^2＋lnx－2x在定义域内不是单调函数,则实数m的取值范围是什么 ．
已知函数f(x)＝mx^2＋lnx－2x在定义域内不是单调函数,则实数m的取值范围是什么 ．
已知函数f(x)＝mx^2＋lnx－2x在定义域内不是单调函数,则实数m的取值范围是什么 ．
在定义域内不是单调函数等价于：
f'(x)不恒大于0或横小于0
f'(x)=(2mx^2-2x+1)/x (x>0)
令h(x)=2mx^2-2x+1
对于分子2mx^2-2x+1只要让它与X轴有两交点即可
（有一个交点能保证单调,所以1楼△≥0是错误的）
若m>0抛物线开口向上 对称轴x=1/2m >0 图像与y轴交与（0,1）
抛物线的最低点hmin
先求导，=2mx+1/x-2，令导数=0，在定义域内不是单调函数即所得方程△≥0，求得m≤1/2好久不做题，都不记得了，应该是这样做的吧
首先定义域x大于0
求导，得到导函数f'(x)=2mx+1/x-2=(2mx^2-2x+1)/x
令g(x)=2mx^2-2x+1
要想函数不单调，其导函数必须有两个不等实根，且至少有一个根在定义域内
所以判别式=4-8m大于0，解得m小于1/2
分类讨论
（一）当两根都在定义域内时，x1,x2都大于0
所以x1x2大于0，x1+x2大于0<...
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首先定义域x大于0
求导，得到导函数f'(x)=2mx+1/x-2=(2mx^2-2x+1)/x
令g(x)=2mx^2-2x+1
要想函数不单调，其导函数必须有两个不等实根，且至少有一个根在定义域内
所以判别式=4-8m大于0，解得m小于1/2
分类讨论
（一）当两根都在定义域内时，x1,x2都大于0
所以x1x2大于0，x1+x2大于0
利用韦达定理翻译得到
1/2m大于0，1/m大于0
解得m大于0
综上m范围(0,1/2)
（二）当有一个根在定义域内时
只需x1x2小于等于0（注意这里的等号）
1/m小于等于0，解得m小于0
综上m小于0
（三）当m=0时，原函数为lnx-2x
求导，导函数f'(x)=1/x-2=(1-2x)/x
另g(x)=1-2x
不难看出，函数的根是1/2，在原函数定义域内，符合题意
综上所述m的范围是（负无穷，1/2）
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