在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),求数列{an}的通项an

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 04:47:20
在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),求数列{an}的通项an

在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),求数列{an}的通项an
在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),求数列{an}的通项an

在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),求数列{an}的通项an
此题用“构造法”将原数列an的递推公式a(n+1)=2an+3构造一下,
使两边有“相似”部分,令a(n+1)+x=2(an+x),化简得a(n+1)=2an+x,
即x=3,则a(n+1)+3=2(an+3),即可得到如下数列:
a2+3=2(a1+3)
a3+3=2(a2+3)
a4+3=2(a3+3)
···
a(n+1)+3=2(an+3)
由a1=1,可知a1+3=4,则数列an+3是一个以4为首项,2为公比的等比数列,
即an+3=4×2^(n-1),化简得an=2^(n+1)-3

an+1=2an+3
an+1 +3=2*(an+3)
所以:{an+3}为等比数列,首项为a1+3=1+3=4
公比为2
所以an+3=4*2^(n-1)=2^(n+1)
an=2^(n+1)-3
n=1时,a1=1 满足an
所以an=2^(n+1)-3