作业帮直线经过点（2,1）,与两坐标轴的正半轴相交,求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 23:37:42
直线经过点（2,1）,与两坐标轴的正半轴相交,求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值.
直线经过点（2,1）,与两坐标轴的正半轴相交,求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值.
直线经过点（2,1）,与两坐标轴的正半轴相交,求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值.
设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0),A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0
设角OAB=α,α∈(0,π/2),则：
OA=a=2+1/tanα
OB=b=1+2tanα
AB=1/sinα+2/cosα
周长=OA+AB+BO=3+1/tanα+2tanα+1/sinα+2/cosα
=1+(3tan(α/2)+1)/(tan(α/2)-(tan(α/2))^2)
令tan(α/2)=x,x∈(0,1),则：
周长=1+(3x+1)/(x-x^2)
=1+3/(5/3-(x+1/3+(4/9)/(x+1/3)))
>=1+3/(5/3-4/3)=10
当且仅当x+1/3=(4/9)/(x+1/3)时,即x=1/3时,周长取最小值10.
此时A(10/3,0),B(0,5/2)
三角形的周长为：x+y+√(x^2+y^2)≤x+y+√2（x+y）/2=（1+√2/2）（x+y），当x=y时不等式左边的值最大。
设过点的直线方程为y=ax+b，即1=2a+b。
又因为x=y时，周长最小，则直线交坐标轴的值相等，可得直线方程的a=-1，b=2，因此叫两轴分别为x=3，y=3；
周长=（1+√2/2）（3+3）=6+3√2...
全部展开
三角形的周长为：x+y+√(x^2+y^2)≤x+y+√2（x+y）/2=（1+√2/2）（x+y），当x=y时不等式左边的值最大。
设过点的直线方程为y=ax+b，即1=2a+b。
又因为x=y时，周长最小，则直线交坐标轴的值相等，可得直线方程的a=-1，b=2，因此叫两轴分别为x=3，y=3；
周长=（1+√2/2）（3+3）=6+3√2
收起
设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0)，A(a,0)，B(0,b)，其中a>0，b>0
设角OAB=α，α∈(0,π/2)，则：
OA=a=2+1/tanα
OB=b=1+2tanα
AB=1/sinα+2/cosα
周长=OA+AB+BO=3+1/tanα+2tanα+1/sinα+2/cosα
=1+(3tan(α/2)+1)/(tan(α/2)...
全部展开
设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0)，A(a,0)，B(0,b)，其中a>0，b>0
设角OAB=α，α∈(0,π/2)，则：
OA=a=2+1/tanα
OB=b=1+2tanα
AB=1/sinα+2/cosα
周长=OA+AB+BO=3+1/tanα+2tanα+1/sinα+2/cosα
=1+(3tan(α/2)+1)/(tan(α/2)-(tan(α/2))^2)
令tan(α/2)=x，x∈(0,1)，则：
周长=1+(3x+1)/(x-x^2)
=1+3/(5/3-(x+1/3+(4/9)/(x+1/3)))
>=1+3/(5/3-4/3)=10
当且仅当x+1/3=(4/9)/(x+1/3)时，即x=1/3时，周长取最小值10。
此时A(10/3,0)，B(0,5/2)
如果你有问题不懂的，可以继续来问我，我会尽力为你解答的
收起