作业帮题目是这样的（1）证明tan(x/2)=cot(x/2)-2cotx(2)求出数列∑1(2^n)tan(x/2^n)的和请大侠们帮下忙,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 08:46:37
题目是这样的（1）证明tan(x/2)=cot(x/2)-2cotx(2)求出数列∑1(2^n)tan(x/2^n)的和请大侠们帮下忙,
题目是这样的
（1）证明tan(x/2)=cot(x/2)-2cotx
(2)求出数列∑1(2^n)tan(x/2^n)的和
请大侠们帮下忙,
题目是这样的（1）证明tan(x/2)=cot(x/2)-2cotx(2)求出数列∑1(2^n)tan(x/2^n)的和请大侠们帮下忙,
(1) [cot(x/2)-tan(x/2)]/2=[cos(x/2)/sin(x/2)-sin(x/2)/cos(x/2)]/2
=[cos^2(x/2)-sin^2(x/2)]/[2sin(x/2)cos(x/2)]
=cos(x)/sin(x)=cot(x),
所以cot(x/2)-tan(x/2)=2cotx,得tan(x/2)=cot(x/2)-2cotx.
(2) 由(1)的结果知tan(x/2^n)=cot(x/2^n)-2cot(x/2^(n-1)),所以
(1/2)tan(x/2)=(1/2)cot(x/2)-cotx,
(1/2^2)tan(x/2^2)=(1/2^2)cot(x/2^2)-(1/2)cot(x/2),
(1/2^3)tan(x/2^3)=(1/2^3)cot(x/2^3)-(1/2^2)cot(x/2^2),
……,
(1/2^k)tan(x/2^k)=(1/2^k)cot(x/2^k)-(1/2^(k-1))cot(x/2^(k-1)),
两边相加得∑{10,所以
(1/2^k)cot(x/2^k)=(1/2^k)cos(x/2^k)/sin(x/2^k)
=[cos(x/2^k)/x]*[(x/2^k)/sin(x/2^k)]->[cos(0)/x]*1=1/x,
得∑{n>=1} (1/2^n)tan(x/2^n)=1/x-cot(x).
这道题的关键就是求(1/2^k)cot(x/2^k)在k趋于无穷时的极限，可以用等价无穷小代换或洛比达法则，结果都是1/x