一根长L的木棍用红色刻度线分成m等分,用黑色刻度线分成n等分,m>n,设x是红与黑重合的条数说明x+1是m和n的公约数如按刻度线将木棍锯成共170根长度不等的小段其中最长的小段有100根确定m与n

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 05:32:57

一根长L的木棍用红色刻度线分成m等分,用黑色刻度线分成n等分,m>n,设x是红与黑重合的条数说明x+1是m和n的公约数如按刻度线将木棍锯成共170根长度不等的小段其中最长的小段有100根确定m与n
一根长L的木棍用红色刻度线分成m等分,用黑色刻度线分成n等分,m>n,设x是红与黑重合的条数
说明x+1是m和n的公约数
如按刻度线将木棍锯成共170根长度不等的小段其中最长的小段有100根确定m与n的值

一根长L的木棍用红色刻度线分成m等分,用黑色刻度线分成n等分,m>n,设x是红与黑重合的条数说明x+1是m和n的公约数如按刻度线将木棍锯成共170根长度不等的小段其中最长的小段有100根确定m与n
1)重合的红黑刻度线将L分成X+1份.任何两条重合的红黑刻度线之间的木棍长度是相等的.木棍的始端和末端也可认为是红黑刻度线重合点,只是没标出来,故这X+1份都是等长的.
设有A份L/m,B份L/n在在1份重合的红黑刻度线之间.则A,B必互质,否则在1份重合的红黑刻度线之间又将有重合的刻度线,矛盾.
由（X+1）*A*L/m=（X+1）*B*L/n=L
解得m=（X+1）A,n=（X+1）B
(X+1)是m,n的公约数,并且是m,n的最大公约数gcd(m,n)
2) 有m-1条红线,n-1条黑线,有x条红黑重合刻度线.故共有m+n-x-2条着色刻度线.将木棍分成m+n-x-1段.即
m+n-x-1=170 (1)
由于m>n,先沿红刻线将木棍锯成m段.再将含有不与红色刻度线重合的黑色刻度线的木段沿黑色刻度线锯开.共有n-1-x个木段又被锯断,所以未被锯断的是最长段,共有m-(n-1-x)段,故
m-(n-1-x)=100 (2)
(1)(2)联立,得
m=135,n-x-1=35
又x+1=gcd(m,n)=gcd(135,n),n

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一根长为L的木棍,用红色的刻度线将它分成M等份,
每份长L/M
用黑色刻度线将它分成N等份,每份长L/N。
X是红色刻度线重合的条数，把L分成X+1段。
则每2根刻度线重合之间的长度一样。设有A份L/M，B份L/N在中间。
AB互质。不然，它们有公约数，又有线重合。
则A*L/M=B*L/N
（X+1）*A*L/M=（X+1）*B*L/N=L
（X+1）A/M=（X+1）B/N=1
M=（X+1）A，N=（X+1）B
AB互质，所以X+1是MN的公约数。
2。
因为M>N,最长的就是一端红黑刻度线重合，一端是红色的刻度线。
长就是L/M。
可以知道，有X条红黑刻度线，每条2边的都是最长棍。L两端也分别有1条最长棍。
这样的小棍有2X+2=100跟。
X=49。
有M-1条红线，N-1条黑线。有X条红黑刻度线重合。
就一共有M+N-X-2条线。
分成M+N-X-2+1=170段。
M+N-X=171。
M+N=171+49=220。
M，N是X+1=50的倍数。M>N

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一根长L的木棍用红色刻度线分成m等分，用黑色刻度线分成n等分，m>n，设x是红与黑重合的条数
说明x+1是m和n的公约数
如按刻度线将木棍锯成共170根长度不等的小段其中最长的小段有100根确定m与n的值

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把L用刀刻线分成mn等份，每份的长度记为1，以左端为零刻度线。给刀刻线标上刻度值。
那么红色刻度线的读数是n的倍数，黑色刻度线的读数是m的倍数。
所以红黑重合刻度线的读数是m与n的最小公倍数Gsm(m,n)。若有x条，L便被分成x+1等份，于是(x+1)=mn/Gsm(m,n)=Gcd(m,n)〖m,n的最大公约数〗
这是因为有个数论定理：mn=Gsm(m,n)Gcd(m,n)。
有m-1条红线，n-1条黑线，有x条红黑重合刻度线。故共有m+n-x-2条着色刻度线。分成m+n-x-1段。即m+n-x-1=170 -----------------------------(1)
由于m>n，所以最长的小段长度为n。相邻的两条红色刻度线间至多夹有一根黑刻线。先沿红刻线锯成m段，然后沿不与红刻线重合的黑刻线(共n-1-x条)锯断，所以未被锯断的最长段有m-(n-1-x)，即
m-n+x+1=100-------------------------------------------------------(2)
联立(1)和(2)解得m=135，n-x-1=35
x+1=Gcd(m,n)=Gcd(m,n-x-1)=Gcd(135,35)=5，所以x=4，从而n=40
故最后确定m=135，n=40

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支持 vym1 - 经理五级
如果不要求过程的话，也可以直接取特值。

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楼上都不对。
4楼思路大体正确，但错误很多。如gcd(m,n)=gcd(m,n-x-1)，当gcd(64,34)=2,gcd(64,34-2)=32就不成立。再如最长的小段长度为n；相邻的两条红色刻度线间至多夹有一根黑刻线等都是错误的。
1)重合的红黑刻度线将L分成X+1份。任何两条重合的红黑刻度线之间的木棍长度是相等的。木棍的始端和末端也可认为是红黑刻度线重合点，只是没标出来，故这X+1份都是等长的。
设有A份L/m，B份L/n在在1份重合的红黑刻度线之间。则A,B必互质，否则在1份重合的红黑刻度线之间又将有重合的刻度线，矛盾。
由（X+1）*A*L/m=（X+1）*B*L/n=L
解得m=（X+1）A，n=（X+1）B
(X+1)是m,n的公约数，并且是m,n的最大公约数gcd(m,n)

2) 有m-1条红线，n-1条黑线，有x条红黑重合刻度线。故共有m+n-x-2条着色刻度线。将木棍分成m+n-x-1段。即
m+n-x-1=170 (1)
由于m>n，先沿红刻线将木棍锯成m段。再将含有不与红色刻度线重合的黑色刻度线的木段沿黑色刻度线锯开。共有n-1-x个木段又被锯断，所以未被锯断的是最长段，共有m-(n-1-x)段，故
m-(n-1-x)=100 (2)
(1)(2)联立，得
m=135,n-x-1=35
又x+1=gcd(m,n)=gcd(135,n)，n<135
x+1可能是135的约数1,3,5,9,15,27,45,相应n可能36，38，40，44,50,62，80。用(x+1)=gcd(m,n)检验，可得x+1=5,n=40
从而m=135,n=40

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alanskyfire指出的vym1的3个错误，只有第1点说对了，其它两点不对，把人家正确的说成错误的了。故“大体正确，错误很多”之说夸大其词了。
我把两位的解法去伪存真，去粗取精，可否后来居上，抢个140分?
把L用刀刻线分成mn等份，每份的长度记为1，以左端为零刻度线。给刀刻线标上刻度值。
那么红色刻度线的读数是n的倍数，n的倍数刻度也必有红线。
黑色刻度线的读数是m的倍数，m的倍数刻度也必有黑线。
所以红黑双色线的读数是m与n的最小公倍数Gsm(m,n)，这可整除mn〖学过数论初步的人都知道定理mn=Gsm(m,n)Gcd(m,n)〗，所以x条红黑双色线将木棍（x+1)等分，且x+1=Gcd(m,n)。
有m-1条红线，n-1条黑线，有x条红黑重合刻度线。故共有m+n-x-2条着色刻度线。分木棍成m+n-x-1段。即m+n-x-1=170 -----------------------------(1)
由于m>n，红密黑疏，所以相邻的两条红线间至多夹有一根黑线，而相邻相邻的两条黑线间至少夹有一根红线(而且还不包括重合线)，所以最长的小段长度为n。先沿红刻线锯成m段，然后沿不与红刻线重合的黑刻线(共n-1-x条)锯断，所以未被锯断的最长段有m-(n-1-x)，即
m-n+x+1=100-------------------------------------------------------(2)
联立(1)和(2)解得m=135，n-x-1=35
x+1=Gcd(m,n)|Gcd(m,n-x-1)=Gcd(135,35)=5，故x=4（0显然舍去），从而n=40
故最后确定m=135，n=40。
最后我们看到，虽然vym1的x+1=Gcd(m,n)=Gcd(m,n-x-1)是错误的，但不算100%错（仍然有整除关系），容易挽救。alanskyfire察觉了错误，却没洞察其中的正确芽苗，错失了挽救妙手，最后只得穷举、检验。
倒是alanskyfireg开门见山就说“任何两条重合的红黑刻度线之间的木棍长度是相等的”，不如vym1的方法交代清楚。后面的A，B必互质也一样，交代不清。虽然浅显，但本问要的就是对这个浅显事实的证明。

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16 18

若这两数为“奇数”
则，它们的最小公倍数为“这两数的积”；最大公约数为1。
因此，可知：最小公倍数为143，最大公约数为1。A*B=143
所以，两数分别为“11”和“13”。
若这两数为“偶数”
则，它们的最小公倍数为“这两数的积”除以2；最大公约数为2。
因此，可知：最小公倍数为144，最大公约数为2。A*B=288
所以，两数分别为“1...

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