作业帮一道图形证明题C是线段AB上一点,一以线段AC、BC为边在AB同侧作两个正三角形ACD,BCE,连接DB,AE.（1）设线段AE,DB的中点为F、G,求证：三角形FCG为正三角形.（2）设线段AE和CD,BD和CE的交点为F、G,求
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 13:23:31
一道图形证明题C是线段AB上一点,一以线段AC、BC为边在AB同侧作两个正三角形ACD,BCE,连接DB,AE.（1）设线段AE,DB的中点为F、G,求证：三角形FCG为正三角形.（2）设线段AE和CD,BD和CE的交点为F、G,求
一道图形证明题
C是线段AB上一点,一以线段AC、BC为边在AB同侧作两个正三角形ACD,BCE,连接DB,AE.
（1）设线段AE,DB的中点为F、G,求证：三角形FCG为正三角形.
（2）设线段AE和CD,BD和CE的交点为F、G,求证：三角形FCG为正三角形.
（3）设C在AE,DB上的射影为F、G,求证：三角形FCG为正三角形.
一道图形证明题C是线段AB上一点,一以线段AC、BC为边在AB同侧作两个正三角形ACD,BCE,连接DB,AE.（1）设线段AE,DB的中点为F、G,求证：三角形FCG为正三角形.（2）设线段AE和CD,BD和CE的交点为F、G,求
（1）、如图1,∵AC＝DC,∠ACE＝∠DCB＝120°,CE＝CB,∴△ACE≌△DCB
∴∠CAF＝∠CDG,AE＝DB,又AF＝1/2AE,DG＝1/2DB,∴AF＝DG
又AC＝DC,∴△ACF≌△DCG,∴CF＝CG,∠ACF＝∠DCG,
∴∠FCG＝∠DCF＋∠DCG＝∠DCF＋∠ACF＝60°,∴△FCG为正三角形
（2）如图2,由（1）知∠CAF＝∠CDG,又AC＝DC,∠ACF＝∠DCG＝60°
∴△ACF≌△DCG,∴CF＝CG
又∠FCG＝60°,∴△FCG为正三角形
（3）如图3,设线段AE和CD,BD和CE的交点为M、N
由（2）知△ACM≌△DCN,∴CM＝CN,∠AMC＝∠DNC,∴∠CMF＝∠CNG
又∠CFM＝∠CGN＝90°,∴△MCF≌△NCG
∴CF＝CG,∠MCF＝∠NCG,∴∠FCG＝∠FCN＋∠NCG＝∠FCN＋∠MCF＝60°
∴△FCG为正三角形
先证明△ACE≌△DCB
证明如下：
AC=DC，∠ACE=∠DCB=120°，CE=CB
∴△ACE≌△DCB
1）
连结CF
∵△ACE≌△DCB
∴∠FAC=∠GDC，AE=DB
∵AF=1/2AE，DG=1/2DB
∴AF=DG
又∵AC=DC
∴△AFC≌△DGC
∴FC=GC，∠FCA=∠G...
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先证明△ACE≌△DCB
证明如下：
AC=DC，∠ACE=∠DCB=120°，CE=CB
∴△ACE≌△DCB
1）
连结CF
∵△ACE≌△DCB
∴∠FAC=∠GDC，AE=DB
∵AF=1/2AE，DG=1/2DB
∴AF=DG
又∵AC=DC
∴△AFC≌△DGC
∴FC=GC，∠FCA=∠GCD
∴∠FCA+∠DCF=∠GCD+∠DCF
即：∠DCA=∠GCF
∴∠GCF=60°
∴△GCF是正三角形
2）
∵△ACE≌△DCB
∴∠FEC=∠GBC（此时的F、G分别是AE与CD的交点和CE与BD的交点）
又∵∠FCE=180°-∠DCA-∠ECB=60°=∠GCB，CE=CB
∴△FCE≌△GCB
∴FC=GC
上面已得：∠FCG=60°
∴△FCG是正三角形
3）
∵△ACE≌△DCB
∴∠FEC=∠GBC
∵∠CFE=∠CGB=90°，CE=CB
∴△CFE≌△CGB
∴CF=CG，∠FCE=∠GCB
∴∠FCE+∠ECG=∠GCB+∠ECG
即，∠FCG=∠ECB=60°
∴△FCG为正三角形
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