作业帮数学归纳法,只要写出重要部分即可,不必按格式,若ai>0(i=1,2,……n)且a1+a2+……+an=1,数学归纳法证明：a1^2+a2^2+…+an^2≥1/n(n≥2,n∈N)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 12:02:05
数学归纳法,只要写出重要部分即可,不必按格式,若ai>0(i=1,2,……n)且a1+a2+……+an=1,数学归纳法证明：a1^2+a2^2+…+an^2≥1/n(n≥2,n∈N)
数学归纳法,只要写出重要部分即可,不必按格式,
若ai>0(i=1,2,……n)且a1+a2+……+an=1,数学归纳法证明：a1^2+a2^2+…+an^2≥1/n(n≥2,n∈N)
数学归纳法,只要写出重要部分即可,不必按格式,若ai>0(i=1,2,……n)且a1+a2+……+an=1,数学归纳法证明：a1^2+a2^2+…+an^2≥1/n(n≥2,n∈N)
a1^2+a2^2+…+an^2≥1/n成立,则可知1/n大于0.可知n为正数
要证明a1^2+a2^2+…+an^2+a(n+1)^2≥1/(n+1)
即1/n-1(n+1)>=0
因为n是正数
所以1/n-1(n+1)>=0成立
得证
n=2 显然
设n=k成立
则 a1+a2+...+ak=1 a1^2+a2^2+…+ak^2≥1/k
当n=k+1 a1+a2+...+ak+a(k+1)=1
令ak+a(k+1)=at 则a1+a2+...+at=1 此时一共有k项
那么a1^2+a2^2+…+at^2
=a1^2+a2^2+…+ak^2+a(k+1)^2+2*ak*a(k+1...
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n=2 显然
设n=k成立
则 a1+a2+...+ak=1 a1^2+a2^2+…+ak^2≥1/k
当n=k+1 a1+a2+...+ak+a(k+1)=1
令ak+a(k+1)=at 则a1+a2+...+at=1 此时一共有k项
那么a1^2+a2^2+…+at^2
=a1^2+a2^2+…+ak^2+a(k+1)^2+2*ak*a(k+1)
≥1/k+2*ak*a(k+1)
因为ai>0
所以1/k+2*ak*a(k+1)>1/(1+k)
所以所有n都成立
收起
这样做 假设对于a1+a2+……+（an-1）=d,
有a1^2+a2^2+…+（an-1）^2≥d^2/(n-1)
（n-1=2很显然不等式成立这个就不用我说了吧）
则对于a1^2+a2^2+…+an^2=an^2+（a1^2+a2^2+…+（an-1）^2）
≥an^2+（1-an）^2/(n-1)≥1/n(利用二次函数最值)
得证怎么到a1^2+a2^...
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这样做 假设对于a1+a2+……+（an-1）=d,
有a1^2+a2^2+…+（an-1）^2≥d^2/(n-1)
（n-1=2很显然不等式成立这个就不用我说了吧）
则对于a1^2+a2^2+…+an^2=an^2+（a1^2+a2^2+…+（an-1）^2）
≥an^2+（1-an）^2/(n-1)≥1/n(利用二次函数最值)
得证
收起
可以使用柯西不等式直接证明~