已知二次函数y=x2+x+11是否存在这样的点,横坐标是正整数,纵坐标是完全平方数?请求出该点,若无,请证明

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 17:18:42
已知二次函数y=x2+x+11是否存在这样的点,横坐标是正整数,纵坐标是完全平方数?请求出该点,若无,请证明

已知二次函数y=x2+x+11是否存在这样的点,横坐标是正整数,纵坐标是完全平方数?请求出该点,若无,请证明
已知二次函数y=x2+x+11是否存在这样的点,横坐标是正整数,纵坐标是完全平方数?请求出该点,若无,请证明

已知二次函数y=x2+x+11是否存在这样的点,横坐标是正整数,纵坐标是完全平方数?请求出该点,若无,请证明

原题等价于y=x2(x属于正整数)和y=x2+x+11是否有交点
x2=x2+x+11
x=-11
由于x属于正整数
所于无

x=10,y=121

楼上的解法是错误的,因为原题没有提及到纵坐标恰好是横坐标的完全平方数,不可能列出方程x2=x2+x+11。而正确的方程应该为z2=x2+x+11,是两个未知数。这题的答案交点应该至少有一个(10,121),不过求证方法还是要等高人指点了……

假设在二次函数y=x2+x+11上存在横坐标是正整数,纵坐标是完全平方数这样的点,设为(a,b2).根据该条件a和b都应是正整数.因此代入公式得:
b2=a2+a+11.
将a2移到左侧,整理得:
(b+a)(b-a)=(a+11)*1
因a和b都是正整数,因此括号内运算结果必须为正整数所以可得出b-a=1和b+a=a+11这两个对应的方程式.
把b=a+1...

全部展开

假设在二次函数y=x2+x+11上存在横坐标是正整数,纵坐标是完全平方数这样的点,设为(a,b2).根据该条件a和b都应是正整数.因此代入公式得:
b2=a2+a+11.
将a2移到左侧,整理得:
(b+a)(b-a)=(a+11)*1
因a和b都是正整数,因此括号内运算结果必须为正整数所以可得出b-a=1和b+a=a+11这两个对应的方程式.
把b=a+1代入b+a=a+11中得出a=10,b=11.b2=121
因此存在此点(10,121).
所以二次函数y=x2+x+11存在横坐标是正整数,纵坐标是完全平方数的点.如(10,121).
求证完毕
另一种解法:
根据题意,如果存在此点,此点必在y=(x+a)2的线上.a为整数.
因此该点为y=x2+x+11和y=(x+a)2的交点.
将y=(x+a)2代入y=x2+x+11得:
(2a-1)x=11-a2.
x=(11-a2)/(2a-1)
当a=0时,x=-11.而非正整数,因此a=/0.
当a>0时,11-a2>0,因此a2<11,故0当a<0时,11-a2<0,因此a2>11,故a<-V11.故有可能存在符合要求的点.
经求证存在此点.
求证完毕

收起

(10,121)

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