作业帮第一问C的方程该怎么求?麻烦说详细一点,我解析几何很差...
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 21:08:30
第一问C的方程该怎么求?麻烦说详细一点,我解析几何很差...
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第一问C的方程该怎么求?麻烦说详细一点,我解析几何很差...
(1)设P点的坐标为(x,y),PF₁=(-c-x,-y)；PF₂=(c-x,-y).
PF₁•PF₂=(-c-x)(c-x)+y²=-(c²-x²)+y²=x²+y²-c²=0.(1)
已知︱OP︱=√(x²+y²)=1,故得x²+y²=1,代入(1)式得c²=1；
又已知e=c/a=1/a=√2/2,故a=2/√2=√2,b²=a²-c²=2-1=1；
于是得椭圆方程为x²/2+y²=1.(2)
(2)设过S(0,-1/3)的直线L的方程为y=kx-1/3,代入(2)式得：
x²+2(kx-1/3)²-2=0,展开化简得(1+2k²)x²-(4k/3)x-16/9=0.(3)
设L与椭圆交点的坐标为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)；则
x₁+x₂=4k/[3(1+2k²)]；x₁x₂=-16/[9(1+2k²)]；
y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2/3=4k²/[3(1+2k²)]-2/3=-2/[3(1+2k²)]；
y₁y₂=(kx₁-1/3)(kx₂-1/3)=k²x₁x₂-(k/3)(x₁+x₂)+1/9
=-16k²/[9(1+2k²)]-4k²/[9(1+2k²)]+1/9=(-18k²+1)/[9(1+2k²)]
设M(m,n)是以AB为直径的圆上的任意一点,由于MA⊥MB,故
MA•MB=0,其中,MA=(x₁-m,y₁-n)；MB=(x₂-m,y₂-n)
于是MA•MB=(x₁-m)(x₂-m)+(y₁-n)(y₂-n)
=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+y₁y₂-n(y₁+y₂)+n²
=-16/[9(1+2k²)]-4mk/[3(1+2k²)]+(-18k²+1)/[9(1+2k²)]+2n/[3(1+2k²)]+m²+n²
=[-18k²-12mk+6n-15+9m²(1+2k²)+9n²(1+2k²)]/[9(1+2k²)]
由此可见：当m=0,n=1时,MA•MB=[-18k²-9+9(1+2k²)]/[9(1+2k²)]≡0
M(0,1)是椭圆(2)的上顶点,即以AB为直径的圆,不论k值如何,都过椭圆的上顶点(0,1).