三角函诱导公式和公式有哪些?

三角函诱导公式和公式有哪些?
三角函诱导公式和公式有哪些?

三角函诱导公式和公式有哪些?
同角关系式
对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称.
-α的终边和α的终边关于x轴对称.
180度+α的终边和α的终边关于原点对称.
90度-α的终边和α的终边关于y=x对称.
诱导公式
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
sec（2kπ+α）=secα
csc（2kπ+α）=cscα
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=-cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
sin（α-π）=－sinα
cos（α-π）=－cosα
tan（α-π）=tanα
cot（α-π）=cotα
sec(α-π)=-secα
csc(α-π)=－cscα
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα
推导方法
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数,其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数.90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同.也就是“奇余偶同,奇变偶不变”.
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”）,按所得的角的象限,取三角函数的符号.也就是“象限定号,符号看象限”.（或为“奇变偶不变,符号看象限”).
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变,若为奇数时函数名变为相反的函数名.正负号看原函数中α所在象限的正负号.关于正负号有个口诀；一全正二正弦,三正切四余弦,即第一象限全部为正,第二象限角正弦为正,第三为正切、余切为正,第四象限余弦为正.）还可简记为：sin上cos右tan对角,即sin的正值都在x轴上方,cos的正值都在y轴右方,tan的正值斜着.
比如：90°+α.定名：90°是90°的奇数倍,所以应取余函数；定号：将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,余弦为负.所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)=-sinα 这个非常神奇,屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变,符号看象限”,例如：sin(90°+α),90°的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名,即cos,所以sin(90°+α)=cosα.
对称轴与对称中心：y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ,0）（k∈z)
y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2,0）(k∈z)
y=tanx 对称轴：无对称轴：对称中心：（kπ/2,0）(k∈z)
编辑本段三角恒等式
两角和与差
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化积
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
积化和差
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)^2]
cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)
csc(2α)=1/2*secα·cscα
三倍角公式
sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)
n倍角公式
根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α
半角公式
sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα
cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-coα)=cscα+cotα
sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]
csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]
辅助角公式
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)]
Asinα-Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)]
万能公式
sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan^2(a/2)]
cos(a)=[1-tan^2(a/2)]/[1+tan^2(a/2)]
tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan^2(a/2)]
降幂公式
sin^2α=[1-cos(2α)]/2
cos^2α=[1+cos(2α)]/2=1-sin(2α)/2
tan^2α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)