设函数fx=e^[(a－1)x],a不等于1,讨论fx函数单调性,(2)若k不等于0,对于任意x,fx＋kx≥0恒成立,求1/(k^2)－a/k最小值

设函数fx=e^[(a－1)x],a不等于1,讨论fx函数单调性,(2)若k不等于0,对于任意x,fx＋kx≥0恒成立,求1/(k^2)－a/k最小值
设函数fx=e^[(a－1)x],a不等于1,讨论fx函数单调性,(2)若k不等于0,对于任意x,fx＋kx≥0恒成立,求1/(k^2)－a/k最小值

设函数fx=e^[(a－1)x],a不等于1,讨论fx函数单调性,(2)若k不等于0,对于任意x,fx＋kx≥0恒成立,求1/(k^2)－a/k最小值
f(x)=e^[(a-1)x],a≠1,
把f(x)看成e^u与u=(a-1)x的复合函数,
e^u是增函数,a>1时u是x的增函数,由复合函数的单调性知,f(x)是增函数；a<1时u是x的减函数,f(x)是减函数.
(2)x=0时f(x)+kx=1>0.
1)x>0时由f(x)+kx>=0得k>=-f(x)/x,记为g(x),
g'(x)=-{(a-1)xe^[(a-1)x]-e^[(a-1)x]}/x^2=-[(a-1)x-1]e^(a-1)x]/x^2,
i)a<1时g'(x)>0,g(+∞)→0,k>0;
ii)a>1时g'(x)=(1-a)[x-1/(a-1)]e^[(a-1)x]/x^2,x>1/(a-1)时g'(x)<0;00,
∴g(x)|max=g[1/(a-1)]=-e(a-1),k>=-e(a-1).
2)x<0时k<=-f(x)/x,
i)a>1时g'(x)>0,g(-∞)→0,k<0;
ii)a<1时仿上,g(x)|min=g[1/(a-1)]=-e(a-1),k<=-e(a-1).
综上a<1时01时-e(a-1)<=k<0.①
设u=1/k^2-a/k,则a=1/k-ku,代入①,得
“1/k-ku<1,01,e(1+ku-1/k)<=k<0",
<==>u>1/k^2-1/k=(1/k-1/2)^2-1/4→+∞(k→0）,
∴u的最小值不存在,本题无解.

(1)
fx=e^[(a－1)x]
f'(x)=(a-1)e^[(a-1)x]
当a>1时，a-1>0,e^[(a-1)x>0
∴f'(x)>0恒成立，f(x)为增函数
当a<1时，a-1<0,e^[(a-1)x]>0
∴f'(x)<0恒成立，f(x)为奇函数。

(2)
f(x)＋kx≥0恒成立，
即e^[(...

全部展开

(1)
fx=e^[(a－1)x]
f'(x)=(a-1)e^[(a-1)x]
当a>1时，a-1>0,e^[(a-1)x>0
∴f'(x)>0恒成立，f(x)为增函数
当a<1时，a-1<0,e^[(a-1)x]>0
∴f'(x)<0恒成立，f(x)为奇函数。

(2)
f(x)＋kx≥0恒成立，
即e^[(a-1)x]≥-kx恒成立
那么曲线f(x)恒在直线y=-kx的上方[可以相切]。
过原点向曲线y=f(x)引切线，设切点为P(m,n)
斜率为k',切线方程为y=k'x
则｛n=k'm
{n=e^[(a-1)m]
{k'=(a-1)e^[(a-1)m]
==>
(a-1)e^[(a-1)m]*m=e^[(a-1)m]
∴(a-1)m=1
∴k'=(a-1)e
若曲线f(x)恒在直线y=-kx的上方[可以相切]，
a>1时， 需 0<-k≤(a-1)e ,(1-a)e≤k<0
-a/k≥1/e-1/k
1/(k^2)－a/k≥1/k^2-1/k+1/e>

a<1时，需 (a-1)e<-k<0 ,0脑子有些不够用了，在想想！

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