作业帮已知a,b是方程4x^2-4mx+m+2=0的两个实数根,求(a-1)^2+(b-1)^2的最小值.急
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 11:53:24
已知a,b是方程4x^2-4mx+m+2=0的两个实数根,求(a-1)^2+(b-1)^2的最小值.急
已知a,b是方程4x^2-4mx+m+2=0的两个实数根,求(a-1)^2+(b-1)^2的最小值.急
已知a,b是方程4x^2-4mx+m+2=0的两个实数根,求(a-1)^2+(b-1)^2的最小值.急
方程有实数根,则△≥0
16m²-16(m+2)≥0
m²-m-2≥0
(m+1)(m-2)≥0
m≥2或m≤-1
根据韦达定理,
a+b=4m/4=m
a*b=(m+2)/4
(a-1)²+(b-1)²
=(a²+b²)-2(a+b)+2
=(a+b)²-2ab-2(a+b)+2
=m²-(m+2)/2-2m+2
=m²-2.5m+1
=(m-1.25)²+1-1.5625
=(m-1.25)²-0.5625
当m=2时有最小值,为:
(2-1.25)²-0.5625=0
德尔塔小于零没实根，最小值0，a=1，b=2是得到，（平方和最小值就是零
）
当m=2时，原方程的解为x=1，则最小值为0
这种题目一般都是将目标函数构造成两根之和与两根之积，然后代入最后得到所求的。
(a-1)^2+(b-1)^2=(a+b)^2-2ab-2(a+b)+2=m^2-(m+2)/2-2m+2=m^2-5m/2+1
对于方程有实根，则的他》0
16m^2-16(m+2)》0
m》2或m《-1
然后目标函数已经转换为关于m的二次函数，从这个二次函数中可以看到，对称轴...
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这种题目一般都是将目标函数构造成两根之和与两根之积，然后代入最后得到所求的。
(a-1)^2+(b-1)^2=(a+b)^2-2ab-2(a+b)+2=m^2-(m+2)/2-2m+2=m^2-5m/2+1
对于方程有实根，则的他》0
16m^2-16(m+2)》0
m》2或m《-1
然后目标函数已经转换为关于m的二次函数，从这个二次函数中可以看到，对称轴为m=5/4，此时为该函数的最小值，而这个数值在该m的取值都取不到，因为希望越靠近对称轴的，其值越小，m=2跟m=-1自然是m=2跟靠近m=5/4，于是m=2时，目标函数的值最小，为4-5+1=0
收起
变形为x^2-mx+（m+2）/4=0，根据十字相乘法
ab=（m+2）/4
a+b=-m 两边平方
a^2+2ab+b^2=m^2
a^2+b^2=m^2-2（m+2）/4
(a-1)^2+(b-1)^2
=a^2-2ab+1+b^2-2b+1
将a+b ab带入就可得一个关于m的二元一次方程 可求最小值