作业帮求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 11:53:22
求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项
求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项
求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项
假设该双曲线是x^2-y^2=a^2,则可知双曲线的离心率e=√2.便于研究,我们可以设一点P(x0,y0)在双曲线的右支,且在第一象限.双曲线的对称中心就是O点嘛,双曲线左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),则向量PF1=(-c-x0,-y0),向量PF2=(c-x0,-y0),则向量PF1*向量PF2=x0^2+y0^2-c^2,由双曲线方程可得x0^2+y0^2-c^2=2x0^2-3a^2.焦半径PF1=ex0+a,焦半径PF2=ex0-a,点F1、O、F2三点共线,且O是线段F1F2的中点,于是就有向量PO=1/2*(向量PF1+向量PF2),做好这些准备工作后就可以开始解题了.
(线段PO)^2=(向量PO)^2=1/4*(向量PF1+向量PF2)^2=1/4[(向量PF1)^2+(向量PF2)^2+2(向量PF1)*(向量PF2)]=1/4[(ex0+a)^2+(ex0-a)^2+2x0^2-3a^2]=1/4(8x0^2-4a^2)=2x0^2-a^2=(√2x0+a)(√2x0-a)=(ex0+a)(ex0-a)=焦半径PF1*焦半径PF2,即得证.
此法属向量法,过程其实不难,主要用到向量的一个结论和双曲线的焦半径,以及和等轴双曲线的离心率是√2来解题,可能有些复杂,但思路十分清晰,应该能看得懂吧.
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5.求证:等轴双曲线上任一点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项5.求证：等轴双曲线上任一点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项
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证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
证明题：从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
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求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数为什么我算下来等于 0 呢? 别人算下来都是(a^2)/2