作业帮已知：在三角形abc中,CA=CB,角C=90°,D为AB上任一点,AE垂直于CD,垂足为E,BF垂直于CD,垂足为F求证：EF=|AE-BF|
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 03:47:35
已知：在三角形abc中,CA=CB,角C=90°,D为AB上任一点,AE垂直于CD,垂足为E,BF垂直于CD,垂足为F求证：EF=|AE-BF|
已知：在三角形abc中,CA=CB,角C=90°,D为AB上任一点,AE垂直于CD,垂足为E,BF垂直于CD,垂足为F
求证：EF=|AE-BF|
已知：在三角形abc中,CA=CB,角C=90°,D为AB上任一点,AE垂直于CD,垂足为E,BF垂直于CD,垂足为F求证：EF=|AE-BF|
证明：设M为AB的中点.
第一种情况：点D在线段MB上.
因为 AE垂直于CD于E , BF垂直于CD于F,
所以 角AEC=角BFC=90度,
所以 角ACE+角CAE=90度,
因为 在三角形ABC中,角C=90度,
所以 角ACE+角BCF=90度,
所以 角CAE=角BCF,
又因为 CA=CB,
所以 三角形ACE全等于三角形CBF,
所以 AE=CF, CE=BF,
而 EF=CF--CE,
所以 EF=AE--BF.
第二种情况：点D在线段AM上.
则 EF=BF--AE.
综合上面两种情况可得：
EF=IAE--BFI.
当 AD>DB 时，证明如下：
由 AE⊥CD
可知∠EAC＋∠ACE＝90°
∠ACE＋∠BCF＝∠ACB＝90°
∴ ∠BCF＝∠EAC
在△BCF和△ACE中
∠BCF＝∠EAC
∠BFC＝∠AEC =90°
CB=CA
∴ △BCF≌△ACE
∴ AE＝CF CE＝BF
全部展开
当 AD>DB 时，证明如下：
由 AE⊥CD
可知∠EAC＋∠ACE＝90°
∠ACE＋∠BCF＝∠ACB＝90°
∴ ∠BCF＝∠EAC
在△BCF和△ACE中
∠BCF＝∠EAC
∠BFC＝∠AEC =90°
CB=CA
∴ △BCF≌△ACE
∴ AE＝CF CE＝BF
∴ EF＝CF－CE
＝AE－BF
当 AD
收起