求极限 ( sin(x)-sin(a) )/(x-a) 当x 趋于a时

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 19:00:41
求极限 ( sin(x)-sin(a) )/(x-a) 当x 趋于a时

求极限 ( sin(x)-sin(a) )/(x-a) 当x 趋于a时
求极限 ( sin(x)-sin(a) )/(x-a) 当x 趋于a时

求极限 ( sin(x)-sin(a) )/(x-a) 当x 趋于a时
解法一:重要极限limsinx/x=1
lim(sinx-sinα)/(x-α)
=lim2cos[(x+α)/2]sin[(x-α)/2]/(x-α)
=limcos[(x+α)/2]sin[(x-α)/2]/[(x-α)/2]
此处limsin[(x-α)/2]/[(x-α)/2]=1,等价无穷小代换
=limcos[(x+α)/2]
=cosα
解法二:罗必塔法则
lim(sinx-sinα)/(x-α)
0/0型未定式,分子、分母分别求导
=limcosx
=cosα

利用洛比达法则,得cosa

sin(x)-sin(a) =2cos[(x+a)/2]sin[(X-a)/2]
原极限=LIM(x 趋于a){2cos[(x+a)/2]sin[(X-a)/2]}/(x-a) =COS(a)

遇到分母等于0时,就可以上下求导
原式=cosx/1=cosx
当x 趋于a时 原式=cosa

( sin(x)-sin(a) )/(x-a) 当x 趋于a时
结合导数的定义,实际上,要求的不就是sinx在x=a处的倒数嘛,
(sinx)'=cosx
所以
(sinx)'[x=a]=cosa