作业帮已知二次函数y=f(x)的图像过原点,且f(x-1)=f(x)+x-1,求f(x)表达式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:11:56
已知二次函数y=f(x)的图像过原点,且f(x-1)=f(x)+x-1,求f(x)表达式
已知二次函数y=f(x)的图像过原点,且f(x-1)=f(x)+x-1,求f(x)表达式
已知二次函数y=f(x)的图像过原点,且f(x-1)=f(x)+x-1,求f(x)表达式
设f(x)=ax^2+bx+c
因为图像过原点,所以f(0)=0,得c=0
所以
f(x)=ax^2+bx
f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)=f(x)+x-1=ax^2+bx+x-1
即
a(x-1)^2+b(x-1)=ax^2+bx+x-1
对比两边的系数可得
a=a
-2a+b=b+1
a-b=-1
解得
a=-1/2
b=1/2
所以
f(x)=-1/2x^2-1/2x
为所求
f(x)=ax^2+bx+c,a/=0
f(0)=0
c=0
f(x)=ax^2+bx
f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)=ax^2+bx+x-1
ax^2+(b-2a)x+a-b=ax^2+(b+1)x-1
b-2a=b+1
a-b=-1
a=-1/2,b=1/2
f(x)=-1/2x^2+1/2x
令x=0 则f（-1）=f（0）-1
又f（x）过原点，则f（0）=0
所以f（-1）==-1
令x=1，则f（0）=f（1）=0
设f（x)=ax^2+bx+c
则有 c=0 a-b=-1 a+b=0
解得 a=-1/2 b=1/2 c=10
所以f（x）=-1/2*x^2+1/2*x
图像过原点，说明f(0)=0
f(x-1)=f(x)+x-1,
=>f(x)-f(x-1)=1-x
f(1)-f(0)=1-1=0
f(2)-f(1)=1-2=-1
f(3)-f(2)=1-3=-2
.......
f(x)-f(x-1)=1-x
以上各式叠加
得f(x)-f(0)=0-1-2-3-4....-1+x=(x+1)(1-1+x)/2=-x(x+1)/2
所以f(x)=-x^2/2-x/2