已知a是方程x^2-5x+1=0的一个根,则a^4+a^-4的个位数字是什么?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 20:49:24

已知a是方程x^2-5x+1=0的一个根,则a^4+a^-4的个位数字是什么?
已知a是方程x^2-5x+1=0的一个根,则a^4+a^-4的个位数字是什么?

已知a是方程x^2-5x+1=0的一个根,则a^4+a^-4的个位数字是什么?
a是方程x^2-5x+1=0的一个根
∴a^2-5a+1=0
a-5+1/a=0
a+1/a=5
(a+1/a)^2=25
a^2+1/a^2+2=25
a^2+1/a^2=23
(a^2+1/a^2)=23^2
a^4+1/a^4+2=23^2
a^4+1/a^4=23^2-2,末位数=9-2=7

分析：
a^4+a^-4=[(a^2+a^-2)^2-2，(1)
而a^2+a^-2=(a+a^-1)^2-2，(2)
a是方程x^2-5x+1=0的一个根，将a代入方程得a^2-5a+1=0，
两边同除a得a+a^-1=5，(3)
将(3)带入(2)得：a^2+a^-2=23，(4)
将(4)带入(1)得：a^4+a^-4=23^2-2=529-2=527，
所以a^4+a^-4的个位数字是7。.

方程x^2-5x+1=0的一个跟是（5+根号21）除以2，
对进行变形，a^4+a^-4+2a^4a^-4-2a^4a^-4=（a^2+a^-2）^2-2=（（a+a^-1）^2-2)^2-2
带入跟的值，化简a+a^-1=5+根号21）除以2+5+根号21）除以2^-1=5
（（a+a^-1）^2-2)^2-2
=（5^2-2）^2-2=527

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