作业帮两道数列题目,请帮忙解答,是在没有财富,唯一能做的就是第一时间确认,谢谢了!1,1/2!,2/3!,3/4!…………求通向公式和求和（过程最好详细点,有答案,但是看不懂）2,数列{an}中,an>0,前n项和Sn=1/2（a
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 20:43:09
两道数列题目,请帮忙解答,是在没有财富,唯一能做的就是第一时间确认,谢谢了!1,1/2!,2/3!,3/4!…………求通向公式和求和（过程最好详细点,有答案,但是看不懂）2,数列{an}中,an>0,前n项和Sn=1/2（a
两道数列题目,请帮忙解答,是在没有财富,唯一能做的就是第一时间确认,谢谢了!
1,1/2!,2/3!,3/4!…………求通向公式和求和（过程最好详细点,有答案,但是看不懂）
2,数列{an}中,an>0,前n项和Sn=1/2（an+1/an）
猜想an的通向公式,并证明你的结论
通向公式我知道,证明的时候用数归证到如图所示的地方就无法继续了,请指教
两道数列题目,请帮忙解答,是在没有财富,唯一能做的就是第一时间确认,谢谢了!1,1/2!,2/3!,3/4!…………求通向公式和求和（过程最好详细点,有答案,但是看不懂）2,数列{an}中,an>0,前n项和Sn=1/2（a
1.
An=n/(n+1)!
求和时An需要裂项
An=[(n+1)-1]/(n+1)!=(n+1)/(n+1)!-1/(n+1)!=1/n!-1/(n+1)!
Sn=A1+A2+A3+……+An
=(1/1!-1/2!)+(1/2!-1/3!)+(1/3!-1/4!)+……+(1/n!-1/(n+1)!)
=1-1/(n+1)!
2.
An=n^0.5-(n-1)^0.5
用数学归纳法证明
n=1时,A1=S1=(A1+1/A1)/2
A1=1 猜测成立
假设n=k时,Ak=k^0.5-(k-1)^0.5
那么n=k+1时,
A(k+1)=S(k+1)-Sk
=(A(k+1)+1/A(k+1)/2-(Ak+1/Ak)/2
=(A(k+1)+1/A(k+1)/2-((k^0.5-(k-1)^0.5)+1/((k^0.5-(k-1)^0.5))/2
化简得
(A(k+1))^2+((k^0.5-(k-1)^0.5)+1/((k^0.5-(k-1)^0.5)))A(k+1)-1=0
(k^0.5-(k-1)^0.5)+1/((k^0.5-(k-1)^0.5))可以化简
=(k^0.5-(k-1)^0.5)+(k^0.5+(k-1)^0.5)/((k^0.5-(k-1)^0.5)×(k^0.5-(k-1)^0.5))
=(k^0.5-(k-1)^0.5)+(k^0.5+(k-1)^0.5)/(k-(k-1))
=2k^0.5
(A(k+1))^2+2k^0.5×A(k+1)-1=0
(A(k+1))^2+2k^0.5×A(k+1)+k=k+1
(A(k+1)+k^0.5)^2=k+1
An>0
A(k+1)+k^0.5=(k+1)^0.5
A(k+1)=(k+1)^0.5-k^0.5
n=k+1时也成立
不用数学归纳法也可以做
An=Sn-S(n-1) (n>=2)
1/An=1/(Sn-S(n-1))
2Sn=An+1/An
2Sn=(Sn-S(n-1))+1/(Sn-S(n-1))
Sn+S(n-1)=1/(Sn-S(n-1))
(Sn)^2-(S(n-1))^2=1
{(Sn)^2}是以1为公差的等差数列
A1+1/A1=2S1=2A1
(A1)^2=1
(Sn)^2=(S1)^2+(n-1)×d=n
Sn=n^0.5
An=n^0.5-(n-1)^0.5
经验证,A1=1也满足上式