作业帮求证余弦公式：cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC求证a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 00:46:10
求证余弦公式：cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC求证a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
求证余弦公式：cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC
求证
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
求证余弦公式：cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC求证a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,
如果一个三角形两边的平方和等于第三
边的平方,那么第三边所对的角一定是直
角,如果小于第三边的平方,那么第三边所
对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边
所对的角是锐角.即,利用余弦定理,可以判断三角形形状.
同时,还可以用余弦定理求三角形边长取值范围
△ABC中
过C做AB边得垂线 交于D
b^2=AD^2+DC^2=>DC^2=b^2-AD^2......(1)式
a^2=BD^2+DC^2=>DC^2=a^2-BD^2.......(2)式
(1)式=(2)式
b^2-AD^2=a^2-BD^2...............................(3)式
又因为BD=c-AD将其带入...
全部展开
△ABC中
过C做AB边得垂线 交于D
b^2=AD^2+DC^2=>DC^2=b^2-AD^2......(1)式
a^2=BD^2+DC^2=>DC^2=a^2-BD^2.......(2)式
(1)式=(2)式
b^2-AD^2=a^2-BD^2...............................(3)式
又因为BD=c-AD将其带入(3)式
b^2-AD^2=a^2-(c-AD)^2..........................(4)式
cosA=AD/b=>AD=b*cosA.........................(5)式
将(4)带入(5)化简得a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
楼上的是抄的 我这个是原创的
收起