当n为1,2,3时,n^2+n+1是质数吗?能否判断当n为正整数时,n^2+n+1一定是质数?为什么?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 06:19:35

当n为1,2,3时,n^2+n+1是质数吗?能否判断当n为正整数时,n^2+n+1一定是质数?为什么?
当n为1,2,3时,n^2+n+1是质数吗?能否判断当n为正整数时,n^2+n+1一定是质数?为什么?

当n为1,2,3时,n^2+n+1是质数吗?能否判断当n为正整数时,n^2+n+1一定是质数?为什么?
不能,因当n=4时
n^2+n+1=16+4+1=21 是合数
所以此命题不成立!

n为1,2,3时,n^2+n+1是3、7、13是质数
当n为正整数时，n^2+n+1不一定是质数，n为9时n^2+n+1=91不是质数

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这道题是比较基础的一个数论的问题，看似简单，但很有趣，你可以假设如果你的命题是正确的，那么n=n+1也肯定使你的等式是质数，那么取n=n+1，则
(n+1)^2+(n+1)+1=n^2+3n+3=n^2+3(n+1) 我们现在取n=3k 那么等式就变为
9k^2+3(3k+1)=3[3k^2+3k+1] 这说明这是一个合数，
这就等同于开始我们就取 n=3k-1 代入你的等式就可以得到结果，说明当n-1取值大于3，且是3的倍数的时候，你的命题就不成立。
数论的很多命题都是很简单，但是却让人模棱两可，往往证明方法又十分讲究技巧，证明起来很巧妙。很欣赏你的思考的精神，希望你可以保持对数学的兴趣。

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