已知(X+Y+Z)的平方≥n(XY+YZ+XZ).能取的最大值为多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 06:34:40
已知(X+Y+Z)的平方≥n(XY+YZ+XZ).能取的最大值为多少?

已知(X+Y+Z)的平方≥n(XY+YZ+XZ).能取的最大值为多少?
已知(X+Y+Z)的平方≥n(XY+YZ+XZ).能取的最大值为多少?

已知(X+Y+Z)的平方≥n(XY+YZ+XZ).能取的最大值为多少?
(x+y+z)^2
=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz
=[(x^2+y^2)+ (y^2+z^2)+(x^2+z^2)]/2+2xy+2xz+2yz
(由于x^2+y^2≥2xy,y^2+z^2≥2yz,x^2+z^≥2xz)
≥xy+xz+yz+2xy+2xz+2yz
=3(xy+yz+xz)
所以n最大值取3

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz
=(2x^2+2y^2+2z^2)/2+2xy+2xz+2yz
≥2xy+2xz+2yz+2xy+2xz+2yz
=12xy
中间是根据x^2+y^2≥2xy```````
所以n最大取12

n=1
x2+y2≥2xy
y2+z2≥2yz
z2+x2≥2xz
(X+Y+Z)的平方≥XY+YZ+XZ