作业帮求自然数n,使4n^2+5n为完全平方数求自然数n,使4n^2+5n为完全平方数~注：此为辽宁省“育才杯”竞赛题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 13:23:41
求自然数n,使4n^2+5n为完全平方数求自然数n,使4n^2+5n为完全平方数~注：此为辽宁省“育才杯”竞赛题
求自然数n,使4n^2+5n为完全平方数
求自然数n,使4n^2+5n为完全平方数~
注：此为辽宁省“育才杯”竞赛题
求自然数n,使4n^2+5n为完全平方数求自然数n,使4n^2+5n为完全平方数~注：此为辽宁省“育才杯”竞赛题
设4n^2+5n=k^2,k是自然数.
4n^2+5n-k^2=0作为n的一元二次方程有整数解,所以其判别式
25+16k^2是完全平方数,即
25+16k^2=m^2(m≥5是整数)
所以(m-4k)(m+4k)=25=1*25=5*5
于是m-4k=1,m+4k=25或者m-4k=m+4k=5
m=13,k=3或者m=5,k=0相应地
n=1或0.
4n²+5n
=n²(4+5/n)
=p²
若为完全平方数，则4+5/n必定也是完全平方数
因为n是自然数，所以此时n若大于5，则不能是原式为整数，也谈不上完全平方数
所以0＜n≤5
很容易看出n只能等于1才能使之成为完全平方数
∴n=1
不懂可以再问
谢谢...
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4n²+5n
=n²(4+5/n)
=p²
若为完全平方数，则4+5/n必定也是完全平方数
因为n是自然数，所以此时n若大于5，则不能是原式为整数，也谈不上完全平方数
所以0＜n≤5
很容易看出n只能等于1才能使之成为完全平方数
∴n=1
不懂可以再问
谢谢
收起
4n^2+5n=n(4n+5)
若4n^2+5n=n(4n+5)是完全平方数，那么4n+5就必是n的倍数，并且还是完全平方倍，我们设它为k^2倍（k为自然数），即4n+5=k^2n,
4n+5=k^2n
(k^2-4)n=5
由于5是素数，所以k^2-4与n里必有一个为5，一个为1，
4n^2<4n^2+5n<4n^2+8n=2n*(2n+4)<(2n+2)*(2n+2)
所以完全平方数为2n+1。
4n^2+5n-（2n+1)*(2n+1)=n-1
当n-1=0 所以n=1。
当然 还有一种情况 n=0 （我们小时候上课的时候0还不是自然数 ）
4n^2+5n=n(4n+5)
要使4n^2+5n为完全平方数，4n+5必须是n的倍数，且这个倍数也应该是完全平方数，即1、4、9、16等
显然1和4不合要求，最小是9
4n+5=9n
n=1
所以n＝1