定积分0到正无穷的∫1/(1+x^2)(1+x^a)dx ,(a>0)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 13:05:12
定积分0到正无穷的∫1/(1+x^2)(1+x^a)dx ,(a>0)

定积分0到正无穷的∫1/(1+x^2)(1+x^a)dx ,(a>0)
定积分0到正无穷的∫1/(1+x^2)(1+x^a)dx ,(a>0)

定积分0到正无穷的∫1/(1+x^2)(1+x^a)dx ,(a>0)
思路:将积分写为从0到1和从1到无穷的积分,对第二个积分
做变量替换x=1/t,化简后再换回变量x,会发现两个被积函数的和与a无关,
积分值由此可以求出.
=积分(从0到1)dx/(1+x^2)(1+x^a)+积分(从1到无穷)dx/(1+x^2)(1+x^a)
=积分(从0到1)dx/(1+x^2)(1+x^a)+积分(从0到1)x^adx/(1+x^2)(1+x^a)
=积分(从0到1)dx/(1+x^2)
=pi/4.

rrrr

不会打符号,上下限自已看。
=∫dx/﹙1+x²﹚﹙1+x^a﹚〖0至1〗+∫dx/﹙1+x﹚﹙1+x^a﹚〖1至﹢∞〗
=∫dx/﹙1+x²﹚﹙1+x^a﹚〖0至1〗+∫x^a dx/﹙1+x﹚﹙1+x^a﹚〖0至1〗
=∫dx/﹙1+x²﹚〖0至1〗=π/4