作业帮设AB是n级矩阵,AB=0.证明R(A)+R(B)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 02:13:49
设AB是n级矩阵,AB=0.证明R(A)+R(B)
设AB是n级矩阵,AB=0.证明R(A)+R(B)
设AB是n级矩阵,AB=0.证明R(A)+R(B)
作2n级矩阵: En O 初等 En O 最 En -B
O AB 变换 A AB 后 A O
2n级矩阵的秩为n.
设R(A)=s R(B)=t
则A中有s个线性无关的行向量, B中有t个线性无关的行向量. 这个2n级矩阵的前n行至少有t个线性无关的向量,(只需将-B中的t个线性无关向量,再添加n个分量)
则有s+t
证明：
将矩阵B表示为列向量的形式，即B=（b1,b2,...,bn)
那么，
AB = A（b1，b2，...，bn）=0；
那么B的每个列向量都是方程AX=0的解,
设与向量b1，b2，。。。，bn相应的一个极大无关组为s1，s2.。。。st，那么，
b1,b2,...bn可以由s1，s2，....
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证明：
将矩阵B表示为列向量的形式，即B=（b1,b2,...,bn)
那么，
AB = A（b1，b2，...，bn）=0；
那么B的每个列向量都是方程AX=0的解,
设与向量b1，b2，。。。，bn相应的一个极大无关组为s1，s2.。。。st，那么，
b1,b2,...bn可以由s1，s2，...，st这一极大无关组线性表出，因而
r(B)=r(b1,b2,...,bn)<=r(s1,s2,...,st)
必然就有
n - r(A) = r(s1,s2,...st)>= r(b1,b2...,bn) = r(B)
综上所述，得到;r(A)+r(B)<=n
收起
可以等于