已知f（x）是定义在（-∞,+∞）上不恒为0的函数,且对定义域内的任意xy,f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）（1）求f（1）f（-1）的值（2）判断f（x）的奇偶性,并说明理由

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 09:18:39

已知f（x）是定义在（-∞,+∞）上不恒为0的函数,且对定义域内的任意xy,f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）（1）求f（1）f（-1）的值（2）判断f（x）的奇偶性,并说明理由
已知f（x）是定义在（-∞,+∞）上不恒为0的函数,且对定义域内的任意xy,f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）
（1）求f（1）f（-1）的值
（2）判断f（x）的奇偶性,并说明理由

已知f（x）是定义在（-∞,+∞）上不恒为0的函数,且对定义域内的任意xy,f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）（1）求f（1）f（-1）的值（2）判断f（x）的奇偶性,并说明理由
(1)令x=y=0,则f(0)=0
令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
令x=y=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1)=0,所以f(-1)=0
(2)y=-1,则f(-x)=-f(x)+xf(-1)
所以f(-x)=-f(x),所以为奇函数

1. f(1)=f(1)+f(1)=2f(1) 得f(1)=0
f(-1)=f(-1)-f(1)
两式相乘得 f(1)f(-1)=2f(1)f(-1)-2f(1)^2 得 f(1)f(-1)=2f(1)^2=0
2. 令y=-1
则f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)
所以f(x)为奇函数

令x=y=1，得到f（1)=2f（1),所以f（1）=0，令x=y=-1,得到-2f（-1）=0，f（-1）=0，
令y为-1，得到f（-x）=-f（x）+0，所以为奇函数

（1）取x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1),求得f(1)=0
取x=y=-1，则f(1)=-f(-1)-f(-1),求得f(-1)=0
（2）奇函数，取y=-1，则f(x)=-f(-x)+xf(-1),即f(x)=-f(-x)
又定义域关于原点对称，所以为奇函数

1） f(1)=f(1)+f(1) ==>f(1）=0
f(1)=f(-1)+f(-1) ==>f(-1）=0
2）首先定义域关于原点对称
令y=-1 f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)
所以是奇函数

见图~