作业帮在梯形中,AD平行BC,对角线AC垂直BD,若AD为3,BC为7,则梯形ABCD面积的最大值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 04:38:59
在梯形中,AD平行BC,对角线AC垂直BD,若AD为3,BC为7,则梯形ABCD面积的最大值为?
在梯形中,AD平行BC,对角线AC垂直BD,若AD为3,BC为7,则梯形ABCD面积的最大值为?
在梯形中,AD平行BC,对角线AC垂直BD,若AD为3,BC为7,则梯形ABCD面积的最大值为?
如图设梯形的面积为S,对角线AC、BD相交于O
,∵AD平行BC
∴∠ADB=∠CBD=∠α
S=(AD*BDsinα+BC*BD*sinα)2=(3*BDsinα+7*BD*sinα)/2=5BDsinα
又∵对角线AC垂直BD
BD=BO+OD=ADcosα+BCcosα=(3+7)cosα=10cosα
则S=5BDsinα=5*10*cosα*sinα=25sin(2α)
当sin(2α)为最大值 1时,S有最大值
S最大=25
上底和下底确定后，梯形的面积决定于其高的长度。不妨设高为H，我们先来考虑等腰梯形这一特殊情形。由于对角线垂直，故高H长为5.此时梯形面积为25.
证明：不妨以B点为原点、BC方向为X轴正方向建立平面直角坐标系。则B（0，0），C（7，0），A（x,y）,D(x+3,y).y值即为梯形的高。AC垂直BD,AC与BD所在直线斜率乘积为－1，故可得到方程：y/(x+3) * y/(x-7) =-...
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上底和下底确定后，梯形的面积决定于其高的长度。不妨设高为H，我们先来考虑等腰梯形这一特殊情形。由于对角线垂直，故高H长为5.此时梯形面积为25.
证明：不妨以B点为原点、BC方向为X轴正方向建立平面直角坐标系。则B（0，0），C（7，0），A（x,y）,D(x+3,y).y值即为梯形的高。AC垂直BD,AC与BD所在直线斜率乘积为－1，故可得到方程：y/(x+3) * y/(x-7) =-1,整理可得到：y²=-x²+4x+21.当x=2时，y可取到最大值5.
收起
作DE//AC交BC延长线于E，于是DE=AC，DE⊥BD， BE=10 ，S 梯形ABCD=S Rt三角形DBE
即 Rt三角形DBE的最大面积为 等腰Rt三角形 ，即腰长为 10*2/2 =5√2
故即 梯形ABCD面积的最大值 =1/2 *（5√2)^2=25