高等代数：设x1,x2,x3是方程x^3-2x^2+5x+2=0的三个根,试计算（x1）^4+（x2）^4+（x3）^4的值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 08:50:11

高等代数：设x1,x2,x3是方程x^3-2x^2+5x+2=0的三个根,试计算（x1）^4+（x2）^4+（x3）^4的值
高等代数：设x1,x2,x3是方程x^3-2x^2+5x+2=0的三个根,试计算（x1）^4+（x2）^4+（x3）^4的值

高等代数：设x1,x2,x3是方程x^3-2x^2+5x+2=0的三个根,试计算（x1）^4+（x2）^4+（x3）^4的值
注意到x1+x2+x3=2
x1x2+x2x3+x3x1=5
x1x2x3=-2
(x1)^4+(x2)^4+(x3)^4用对称多项式展开即可求解.

x1= (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3) - 11/(9*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) + 2/3;
x2=11/(18*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) - (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)/2 + 2/3 + (3^(1/2)*(11/(9*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) ...

全部展开

x1= (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3) - 11/(9*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) + 2/3;
x2=11/(18*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) - (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)/2 + 2/3 + (3^(1/2)*(11/(9*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) + (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3))*i)/2;
x3=11/(18*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) - (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)/2 + 2/3 - (3^(1/2)*(11/(9*(67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3)) + (67^(1/2)/3 - 64/27)^(1/3))*i)/2;
四次及四次以下的方程求解有公式，其他没有公式

收起

全部展开

可以给你提供一个好的方法：
形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
希望对你有用。

收起

高等代数：设x1,x2,x3是方程x^3-2x^2+5x+2=0的三个根,试计算（x1）^4+（x2）^4+（x3）^4的值设X1,X2,X3是方程X^3+px+q=0de三个根,则|x1 x2 x3|= |x3 x1 x2| |x2 x3 x1| 设X1,X2,X2是方程X3+PX+q=0的3个根,计算行列式 X1 X2 X3 X3 X1 X2 X2 X3 X1 设x1,x2,x3是方程x^3-x+1＝0的三个根,则x1^5+x2^5+x3^5的值为线性代数题,求详解设X1,X2,X3,X4是方程X^4+3X^2+4X+5=0的四个根,求D=| X1 X2 X3 X4 | 的值| X4 X1 X2 X3 || X3 X4 X1 X2 || X2 X3 X4 X1 | 高等代数为什么x1+x2+x3+......+xn=0的解空间是n-1维的？解线性方程组 X1+X2-2X3=1 X1+2X2-X3=2 2X1-X2+X3=-1用高等代数的知识解答！设方程x^3+2x^2-x+3=0在复数集C中的根是x1,x2,x3,求一元三次方程,使它在C中的根是:1) 2x1,2x2,2x32) -x1,-x2,-x33) 1/x1,1/x2,1/x3 设x1.x2是方程2x²-x-3=0的两实根,则x1+x2+x1*x2 设方程x^3-x^2+3x-2=0在复数集中的根是x1,x2,x3,1)求证x1,x2,x3都不是有理数2)求证x1,x2,x3,中有两个是虚数3)求证对任何实数k,方程x^3-x^2+3x+k=0有两个虚数根第2题其实有提示,是:先求出(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2的若x1是方程lgx+x=3的解,x2是10^x+x=3的解,则x1+x2的值为【在线等】令x3=3-x1 3-x3+lg(3-x3)=3 3-x3=10^x3 又 3-x2=10^x2 所以x2和x3都是方程 3-x=10^x 又上述方程只有一个实数解,所以x2=x3 x2=3-x1 得到 x1+x2=3 过程我设x1,x2,x3,x4是方程x^4+3x^2+4x+5=0的四个根,求D 已知f(x)是奇函数,且方程f(x)=0有且仅有3个实数x1,x2,x3,则x1+x2+x3的值为已知f（x)是奇函数,且方程F(x)=0有且仅有3个实根x1、x2、x3,则x1、x2、x3的值为（已知f(X)是奇函数,且方程f(X)=0有且仅有3个实根X1 X2 X3,则X1+X2+X3=? 已知x1,x2,x3,x4成等比数列,且x1,x4是方程2x²+3x-1=0的两根,则x2+x3= 设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数,若x1+x2>0 ,x2+x3>0 ,x3+x1>0 ,则:A,f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B,f(x1)+f(x2)+f(x3)f(x3) 高等代数,一道求齐次方程组的空间维数的题…3X1+2X2-X3+4X4=0的空间维数是多少?