线性代数：R(A)=R(AB)的充要条件.还有一个问题,若A,B均不是0矩阵,条件能否简化?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 06:07:19
线性代数：R(A)=R(AB)的充要条件.还有一个问题,若A,B均不是0矩阵,条件能否简化?

线性代数：R(A)=R(AB)的充要条件.还有一个问题,若A,B均不是0矩阵,条件能否简化?
线性代数：R(A)=R(AB)的充要条件.
还有一个问题,若A,B均不是0矩阵,条件能否简化?

线性代数：R(A)=R(AB)的充要条件.还有一个问题,若A,B均不是0矩阵,条件能否简化?
A为0阵,或,B为满秩矩阵《=》r（A）=r（AB）这个就是充要条件,没别的要求了
这里有几点要注意
1,B为满秩矩阵,要注意满秩矩阵的定义,只要是满秩矩阵必为方阵,而且是非零方阵.这个条件已经将B的所有条件都限定了,不需要额外加任何条件.
2,由于A行元素个数和B列元素个数相等才能进行矩阵乘法,所以在B为满秩矩阵情况下,必然有
r（B）》=r（A）,这个不需要特殊说明,必然成立.
说一下r（A）=0或r（B）=0时对上述表达的影响
A为0阵时,r（A）=r（AB）永远成立,但反推不一定成立,就是说,A=0是充分条件,不是充要条件
B为0阵时,r（A）=r（AB）不一定成立,反推也不一定成立,就是说B=0是既不充分也不必要条件
综上所述,A=0对表达有影响,B=0对表达没影响.
所以说,A、B均不为0时
B为满秩矩阵《=》r（A）=r（AB） 互为充要条件

必要性
若A=零矩阵，显然等式成立
A不为零矩阵时，设A为m*n矩阵，B为n*p矩阵
有R(AB)>=R(A)+R(B)-n
R(AB)<=min{R(A),R(B)}
R(A)=R(AB)推出min{R(A),R(B)}=R(A)+R(B)-n=R(A)＞0
则R(B)=n>=R(A)＞0
充分性只要逆着写一遍就是了
所以充要...

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必要性
若A=零矩阵，显然等式成立
A不为零矩阵时，设A为m*n矩阵，B为n*p矩阵
有R(AB)>=R(A)+R(B)-n
R(AB)<=min{R(A),R(B)}
R(A)=R(AB)推出min{R(A),R(B)}=R(A)+R(B)-n=R(A)＞0
则R(B)=n>=R(A)＞0
充分性只要逆着写一遍就是了
所以充要条件为A为零矩阵或R(B)=n>=R(A)＞0
A，B都不是零矩阵则充要条件为R(B)=n>=R(A)＞0

收起

线性代数：R(A)=R(AB)的充要条件.还有一个问题,若A,B均不是0矩阵,条件能否简化? 线性代数,如图.为什么r(AB)=r(A)? 线性代数,设A是(n≥2)阶方阵,证明A*是A的伴随矩阵,r(A*)=1的充要条件是r(A)=n-1. 线性代数求矩阵的秩设ABC为三个N阶矩阵,且|AB|不等于0,判断 结论R（ABC）=?R(A) ,R(ABC)=?R(C),R(ABC)=?R(B),R(ABC)=?R(AB) 线性代数求解 设A是m×n实矩阵,证明A^T A正定的充要条件是r(A)=n 线性代数：请通俗的解释下,当AB=0,R(A)+R(B)≤N成立的原因? 考研 线性代数 矩阵的几个问题书没有带回家,郁闷.AB=0 阵1,则r(A)+r(B) 线性代数：设A为m x n矩阵且秩(A)=r的充要条件是A. A中r阶子式全不为0,阶数大于r的子式都为0B. A中所有阶数小于r的子式都为0,至少有一个r+1阶子式不为0C. A中至多有一个r阶子式不为0,；A中所 考研线性代数疑问——关于线性方程组的问题同济四版有这么一段话：n元线性方程组Ax=b（1) 无解的充要条件是R(A) 线性代数问题：已知矩阵A为m*n,如何证明r(AB)=r(BA)=r(A)?其中B矩阵位A的转置矩阵. 线性代数中 若B为可逆矩阵,那么r(AB)=r(A),为什么? （线性代数）设A,B为n阶方阵,证明:r(AB)>=r(A)+r(B)-n 线性代数中R(A)=R(B)=n,R(A),R(B)为矩阵A,B的秩, 线性代数R(a) 线性代数 R(A) 线性代数：若r(A) 线性代数 证明R(ABC)>R(AB)+R(BC)-R(B) 线性代数 证明R(ABC)>R(AB)+R(BC)-R(B)