作业帮利用定义域判定函数f（x）=x+根号（x的平方+1）..在区间（负无穷,正无穷）的单调性定义域是定义，打错了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 11:47:54
利用定义域判定函数f（x）=x+根号（x的平方+1）..在区间（负无穷,正无穷）的单调性定义域是定义，打错了
利用定义域判定函数f（x）=x+根号（x的平方+1）..在区间（负无穷,正无穷）的单调性
定义域是定义，打错了
利用定义域判定函数f（x）=x+根号（x的平方+1）..在区间（负无穷,正无穷）的单调性定义域是定义，打错了
f(x) = x + √(x^2+1)
令x1＜x2
f(x2)-f(x1) = 【x2 + √(x2^2+1)】-【 x1 + √(x1^2+1)】
= (x2-x1) + [√(x2^2+1) -√(x1^2+1)]
= (x2-x1) + [(x2^2+1) -(x1^2+1)] / [√(x2^2+1) +√(x1^2+1)]
= (x2-x1) + (x2+x1)(x2-x1) / [√(x2^2+1) +√(x1^2+1)]
= (x2-x1) { 1 + (x2+x1) / [√(x2^2+1) +√(x1^2+1)] }
= (x2-x1) [√(x2^2+1) +√(x1^2+1) + (x2+x1) ] / [√(x2^2+1) +√(x1^2+1)] }
= (x2-x1) { [√(x2^2+1) + x2] + [√(x1^2+1) +x1 ] } / [√(x2^2+1) +√(x1^2+1)] }
∵√(x2^2+1)＞√x2^2 = |x2| ≥x2,√(x1^2+1)＞√x1^2 = |x1| ≥x1
∴√(x2^2+1)+x2＞0,√x1^2+1)+x1＞0
又：x1＜x2
∴x2-x1＞0
∴f(x2)-f(x1) = (x2-x1) { [√(x2^2+1) + x2] + [√(x1^2+1) +x1 ] } / [√(x2^2+1) +√(x1^2+1)] }＞0
∴f（x）=x+根号（x的平方+1）..在区间（负无穷,正无穷）上单调增
设x>y,则
f(x)-f(y)=[x+√(x^2+1)]-[y+√(y^2+1)]
=(x-y)+[√(x^2+1) - √(y^2+1)]
∵x>y
∴(x-y)>0, [√(x^2+1) - √(y^2+1)]>0
所以 f(x)是单调增函数