一道关于相似三角形的数学题!已知:在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点P在三角形内,且∠PAB=∠PBC=∠PCA,求证:S△PAB=2S△PCA

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 11:30:24
一道关于相似三角形的数学题!已知:在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点P在三角形内,且∠PAB=∠PBC=∠PCA,求证:S△PAB=2S△PCA

一道关于相似三角形的数学题!已知:在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点P在三角形内,且∠PAB=∠PBC=∠PCA,求证:S△PAB=2S△PCA
一道关于相似三角形的数学题!
已知:在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点P在三角形内,且∠PAB=∠PBC=∠PCA,求证:S△PAB=2S△PCA

一道关于相似三角形的数学题!已知:在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点P在三角形内,且∠PAB=∠PBC=∠PCA,求证:S△PAB=2S△PCA
解因为△ABC是等腰直角三角形
所以∠CAB=∠CBA
又因为∠PAB=∠PBC
则∠CAP=∠PBA
在△ABP和△APC中
因为∠PAB=∠PCA
∠PBA=∠CAP
所以△ABP相似△APC
AC/AB=1/(根号)2
S△PCA/S△PAB=AC^2/AB^2=1/2
所以S△PAB=2S△PCA

解:
因为∠ABC=∠BAC,∠PBC=∠PAB,
所以∠PBA=∠PAC,又∠PAB=∠PCA,
所以△PAB∽△PCA,
所以S△PAB/S△PCA=(BA/AC)^2=(√2)^2=2
所以S△PAB=2S△PCA

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