一道 今年自主招生数学题,关于 不等式证明的,若α+β=1,α*β ＜0,求证:x 的 α 次方 乘以 y 的 β 次方 ≥ α x + β y ,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 16:42:58
一道 今年自主招生数学题,关于 不等式证明的,若α+β=1,α*β ＜0,求证:x 的 α 次方 乘以 y 的 β 次方 ≥ α x + β y ,

一道 今年自主招生数学题,关于 不等式证明的,若α+β=1,α*β ＜0,求证:x 的 α 次方 乘以 y 的 β 次方 ≥ α x + β y ,
一道 今年自主招生数学题,关于 不等式证明的,
若α+β=1,α*β ＜0,求证:x 的 α 次方 乘以 y 的 β 次方 ≥ α x + β y ,

一道 今年自主招生数学题,关于 不等式证明的,若α+β=1,α*β ＜0,求证:x 的 α 次方 乘以 y 的 β 次方 ≥ α x + β y ,
应该还有条件,x,y>0吧?
因为α*β= αx + βy
即 (x/y)^α>= α (x/y) + 1-α
令t=x/y
就是 t^α-1>=α(t-1)
而在 α>=1时
令 f(t)=t^α-1-α(t-1)
f(0)=0
f'(t)=αt^(α-1)-α=α(t^(α-1)-1)>=0 (α>=1)
即f(t)是增函数,所以 有 f(t)>=f(0)=0
从而原结论得证.

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