作业帮这个定积分怎么计算,它有意义么?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 16:13:13
这个定积分怎么计算,它有意义么?
这个定积分怎么计算,它有意义么?
这个定积分怎么计算,它有意义么?
做代换令t=tanx,则有
原式=∫[上限arctan2下限0]2倍根号下（1+tan^2 x）
=∫[上限arctan2下限0]2sec x dx
=2 ∫[上限arctan2下限0] 1/cosx dx
=2 ∫[上限arctan2下限0] 1/(1-sin^2 x)dsinx
=- ∫[上限arctan2下限0] 1/(sinx -1) -1/(sinx +1) dsinx
= ln | (sinx+1)/(sinx-1) | (上限arctan2下限0)
= 2ln | (sinx +1)/cosx | (上限arctan2下限0)
=2ln | tanx +secx | ([上限arctan2下限0)
=2ln | 2 +sec(arctan2) |
令y=2倍根号下（1+x^2）（其实原式中虽写的是t,但是看成x也都是一样的,不会有影响）
则有y^2=4+4x^2
得：y^2/4 - x^2 =1,即为半实轴长为2,半虚轴长为1、以y轴为对称轴且与y轴相交的双曲线,
而原定积分中所求的值即为该双曲线在第一象限上的曲线从x=0到x=2上曲线下方和x轴围成的面积.